La formula di eulero si può scrivere in forma contratta come exp(it) = cos(t) + i sin(t) , ed è un modo molto utile di estendere la funzione esponenziale ai numeri complessi. Si può intendere sia come la definizione di esponenziale immaginario, sia si può "dimostrare" la sua validità, estendendo invece l'esponenziale exp(z) come serie di potenze nel campo dei complessi. In ogni caso, l'utilità è grandiosa: ogni numero complesso z si può scrivere come z = r * exp(i t), dove r è il modulo di z, mentre t è un angolo fra 0 e 2π (l'angolo fra il punto z nel piano di Argand-Gauss, visto come vettore, e l'asse x). In questo senso, exp(it) rappresenta il modo utile di descrivere l'angolo di un numero complesso. Questo rende fare moltiplicazioni, prodotti e moduli di numeri complessi un gioco da ragazzi, e trova applicazioni ovunque (integrali, elettronica, risoluzioni di equazioni, teoria dei segnali, decomposizione di fourier).

Caro Pietro, La fisica quantistica é una teoria che puó essere approcciata da piú livelli, dipendentemente dagli interessi, dalle basi di partenza e dagli obiettivi che una persona si prefigge. In generale, per qualcuno che sia totalmente asciutto per ció che riguarda il mondo dei quanti, un primo approccio ed una prima introduzione alla scoperta dei quanti e quindi alla legge di Planck, l'effetto fotoelettrico di Einstein, lo scattering Compton, il modello di Bohr, quantizzazione di carica ed energia, la legge di Schrödinger, il principio di indeterminazione Heisenberg, l'esclusione di Pauli, le onde di materia di De Broglie, ed alcune applicazioni approfondite tra cui l'effetto tunnel, la soluzione esatta degli orbitali nell'atomo di idrogeno, si possono trovare in vari manuali di Fisica contenti Fisica Moderna presenti nelle varie biblioteche. In generale le collezioni di fisica arrivano in tre volumi, uno che si occupa di meccanica e termodinamica, uno di elettricitá e magnetismo, ed infine uno di fisica moderna che contiene l'introduzione alla meccanica quantistica. Anche, vi sono manuali indipendenti di Fisica Moderna, ma consiglio in ogni caso, in assenza di solide basi, di aver dietro manuali di fisica classica; la quantistica, storicamente, poggia sulla fisica classica, e per quanto poi se ne distacchi, é importante conoscer giá bene meccanica, termodinamica, elettricitá e magnetismo, prima di fiondarsi nella quantistica. Inizio quindi coi manuali di tipo elementare. Tra questi vari manuali ne posso consigliare: Fondamenti di Fisica (ovvero l'opuscolo Fisica Moderna) di Halliday; il volume di Fisica Moderna di Tipler, o il manuale di Fisica con Fisica Moderna di Giancoli. Tener presente che questi sono comunque manuali di un certo livello ma in ogni caso "elementari": dicono il giusto, senza entrare a fondo, ma conservando l'approccio delle teorie fisiche e spesso rifacendosi (almeno in buona parte) a quanto trattato nella parte dei manuali della collana precedenti di meccanica, termodinamica ed elettromagnetismo. Un approccio similare ma un po' piú improntato alla chimica é dato dai testi quali l'Oxtoby di Chimica Moderna, ma anche di stampo piú classico General Chemistry di Linus Pauling (nobel). Sicuramente consigliati per chi vuol dare un occhiata alle applicazioni piú affascinanti della quantistica (cioe in chimica molecolare), comprendendone gli effetti prima di sporcarsi troppo con la matematica pesante che vi sta dietro. Se questo é sufficiente agli scopi, consiglio di fermarsi qui. Se uno volesse iniziare con un livello intermedio la quantistica, vorrebbe gia affrontare alcune delle sue piu importanti implicazioni e con un dettaglio maggiore. Se si ha gia una buona base di fisica classica, il mio manuale preferito é il Modern Physics di Krane, dove giá ci si sporca le mani abituandosi a dei conti avanzati, riguardo l'atomo di Bohr, gli spin, la fisica atomica e molecolare, lo studio di funzioni d'onda. É un ottimo riferimento anche per altri aspetti di fisica moderna (cosmologia, particelle, relativitá, fisica dello stato solido, fisica statistica). Non conosco equivalenti italiani al Krane, purtroppo, ma se puo aiutare, si trovano copie a pochi dollari su abebooks. Ora, immagino il caso in cui tu voglia ampliare ulteriormente il livello. Potresti valutare di acquisire dimestichezza dei metodi piu avanzati di meccanica analitica e quantistica, e vi sono oggi in commercio ottimi manuali, che sono quelli di Susskind, la collana de il minimo teorico, sia di meccanica analitica che di quantistica. Attenzione, da questo nomento in poi le cose si fanno difficili. Se si vuole aumentare il livello della quantistica, d se si hanno gia ottime basi di matematica e fisica, ed un minimo di meccanica analitica e/o razionale (metodi Lagrangiani ed Hamiltoniani per trattare la meccanica), ci sono manuali piu o meno equivalenti, e tutti ottimi per iniziare ad aver dimestichezza con gli operatori matematici, gli osservabili, la trattazione matriciale, le funzioni d'onda intese come autofunzioni, e l'algebra e la matematica degli spazi di Hilbert in contesto di quantistica: insomma, cominciare a viverla (mi raccomando, non capirla, ma viverla, impararla ad usarla). Come italiani, noti sono il Forte di Fisica Quantistica, o il Ciccacci di Fondamenti di Fisica Atomica e Quantistica. Certamente piú noti sono i manuali inglesi: il Griffiths di Quantum Mechanics é certo il migliore per una introduzione, ed il mio preferito per iniziare. Il terzo volume delle Lectures di Feynman é ottimo anche, sempre di un mito della fisica quantistica, che la ha vissuta e grande didatta (sia inglese che italiano tradotto). Poi di un livello leggermente piú spinto sono il Modern Quantum Mechanics di Sakurai (straconsigliato da parte mia), la collana di quantistica di Cohen-Tannoudji, il Quantum Mechanics di Messiah, il Joachain Brasden di Physics of Atoms and Molules ma anche Quantum Mechanics, lo Shankar di Principles of Quantum Mechanics. Una volta iniziato a "usare" la quantistica, la si puo testare per varie situazioni applicative, e questi libri offrono giá una serie di problemi ed applicazioni con cui divertirsi (penso alla soluzione dell'oscillatore armonico, alla teoria degli orbitali, risonanza magnetica nucleare, risoluzione in vari potenziali come il quantum well, gli effetti Stark e Zeeman, la spettroscopia e lo scattering, i Laser, i Maser, la quantizzazione del campo elettromagnetico, il confinamento quantistico, le giunzioni e l'effetto Josephson). Questo significa giá vivere e usare la quantistica come fa un ricercatore o laureato in Fisica o Chimica. Se si vuole approfondire il lato chimico della meccanica quantistica, bellissimi manuali sono il Chimica Fisica di Atkins De Paula, il Molecular Quantum Mechanics sempre degli stessi autori, ed anche il Quantum Mechanics di Linus Pauling. Il livello é meno complicato nel lato teorico di quelli precedenti, ma le applicazioni sono decisamente piú intensive nel lato della chimica molecolare, e decisamente piú approfondito e complicato é il lato degli algoritmi per trovare soluzioni di densitá elettroniche nel caso di sistemi a molti atomi (giá qualcosa di estremamente difficile da affrontare teoricamente, basti pensare che giá per l'atomo di Elio non vi sono soluzioni esatte come per l'idrogeno, e quindi per le molecole serve sviluppare le teorie descritte in questi libri). Ulteriori approfondimenti sono la meccanica quantistica relativistica, la teoria dei campi, la fisica quantistica delle particelle e del modello standard, come anche l'utilizzo della quantistica in vari ambiti (nanoelettronica, teoria dell'informazione, quantum computing, quantum chemistry, quantum optics, astrofisica, chimica quantistica). Questi sono, tipicamente, ambiti di ricerca. Arrivati a questo livello, la fisica quantistica diventa uno strumento. Spero di aver dato fede a quanto sia oggi il panorama didattico, molto dispersivo: purtroppo, finisco col dire che un libro di testo é utile tanto quanto lo si vuole rendere tale. Per citare Feynman, nessuno ha davvero capito la quantistica, eppure lui la padroneggió tanto da dare le basi della Quantum Electrodynamics, oggi colonna portante delle teorie piú complete e predittive di fenomeni di interazioni radiazione-materia. Qualunque libro di testo, anche costoso, o anche di pochi dollari, sia esso di fisica generale, di chimica generale, di fisica quantistica o di chimica fisica, puó esser la risorsa piú utile del mondo per accedere cosí vasto e cosí meraviglioso della quantistica, come puó essere inutile. La veritá é che il limite é nell'utente: se ti piacerá, troverai tanto utile l'Halliday, quanto l'Oxtoby, quanto il Griffiths. La quantistica ha tanta bellezza, spero ti piacerá tuffarti nel suo mondo. Edoardo

La prima vera limitazione è che è un modello che basa tutto sul conoscere esattamente posizione e velocità in ogni istante dell'elettrone che orbita intorno al nucleo atomico. Questo è in violazione del principio di indeterminazione di Heisenberg, il quale asserisce che ciò non è possibile, ed anzi che conoscere esattamente la posizione dell'elettrone porterebbe ad una completa ignoranza sulla velocità. Non è tutto: per quanto il modello di Bohr sia un modo rapidissimo per ottenere i corretti - con ottima approssimazione - livelli energetici dell'atomo di idrogeno, esso non riesce a prevedere correttamente lo spettro energetico di atomi più pesanti: già dall'atomo di Elio il potere predittivo va diminuendo (fino a diventare insensato). Altri effetti non spiegati sono l'effetto Zeeman (lo splitting osservato sperimentalmente dei livelli energetici di atomi sotto un campo magnetico), e specialmente il fatto che una carica accelerata (come quella orbitante il nucleo, l'elettrone) non irradii onde elettromagnetiche e poi caschi nel nucleo mediante radiazione di Larmor. Tutti questi effetti hanno livelli più o meno importanti di modellizzazione nella meccanica quantistica (relativistica e non). L'atomo di Bohr rimane comunque utile se si vogliono ricavare rapidamente i livelli dell'atomo di Idrogeno (lo stesso non si può dire, in quanto a rapidità, per i metodi tortuosi della meccanica quantistica).

Questo è esclusivamente un problema di convenzione. Gli assiomi di Peano, che sono la prima descrizione logica dell'insieme dei numeri naturali e delle sue proprietà aritmetiche, ha come primo degli assiomi proprio la frase "0 è un numero naturale". Ma molti testi, che presentano analoghe assiomatizzazioni, iniziano con "1 è un numero naturale", escludendo di fatto lo zero. In ogni caso, basta specificare, quando si parla di insieme di numeri naturali, se esso contenga o no lo zero (sia a parole che a simboli, ciò è fattibile). Va notato infatti che le proprietà fondamentali dell'insieme dei numeri naturali, tra cui ad esempio il principio di induzione, non dipendono da quale sia il "primo" elemento dei numeri naturali, sia esso 0 o 1. La presenza dello zero o no può dunque risultare o una comodità od un fastidio, non qualcosa di fondamentale, ed è una scelta dell'autore tenerlo nell'insieme dei naturali o no. È invece disambiguo che lo 0 sia un numero intero, e questo può aiutare nel formulare alcuni teoremi, ad esempio dicendo "Sia n un intero non negativo" si evita la fatica di specificare se i numeri naturali contengano o no lo zero. Spero che sia chiaro, saluti :)

La formula di eulero si può scrivere in forma contratta come exp(it) = cos(t) + i sin(t) , ed è un modo molto utile di estendere la funzione esponenziale ai numeri complessi. Si può intendere sia come la definizione di esponenziale immaginario, sia si può "dimostrare" la sua validità, estendendo invece l'esponenziale exp(z) come serie di potenze nel campo dei complessi. In ogni caso, l'utilità è grandiosa: ogni numero complesso z si può scrivere come z = r * exp(i t), dove r è il modulo di z, mentre t è un angolo fra 0 e 2π (l'angolo fra il punto z nel piano di Argand-Gauss, visto come vettore, e l'asse x). In questo senso, exp(it) rappresenta il modo utile di descrivere l'angolo di un numero complesso. Questo rende fare moltiplicazioni, prodotti e moduli di numeri complessi un gioco da ragazzi, e trova applicazioni ovunque (integrali, elettronica, risoluzioni di equazioni, teoria dei segnali, decomposizione di fourier).