Alex Matematica Algoritmi

Possiedo un'esperienza decennale nell'ambito dell'insegnamento delle discipline tecnico-scientifiche.
La metodologia che utilizzo varia in base alle esigenze dei miei allievi.
Attualmente impartisco lezioni relative alle seguenti discipline:

- Geometria ed Algebra, Analisi Matematica 1 e 2 , Fisica generale 1 e 2, Informatica e programmazione (lezioni rivolte a studenti universitari)

- Matematica, Fisica, Sistemi, Elettrotecnica (lezioni rivolte a studenti di scuole superiori)

- Argomenti di Geometria ed Algebra trattati nelle mie lezioni (rivolti a studenti universitari)

1. Strutture algebriche e polinomi

Cenni di Teoria degli Insiemi. Prodotto cartesiano. Cenni sulle applicazioni. Strutture
Algebriche:Semigruppi, Gruppi, Anelli, Campi. Esempi.

2. Spazi vettoriali

Spazi Vettoriali su un campo K e loro proprietà elementari. Lo spazio vettoriale numerico R^n, lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti in R, lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in R. Dipendenza ed indipendenza lineare di un sistema di vettori. Dipendenza di un vettore da un sistema. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Basi, Teorema di caratterizzazione delle basi (con dim.), componenti di un vettore, Lemma di Steinitz (con dim.), equipotenza delle basi (con dim.), Isomorfismo coordinato, Matrice del cambiamento di base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema dell'estrazione di una base e teorema
dell'estensione a base. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi. Somme e somme dirette di sottospazi. Formula di Grassmann. Riferimenti. Cambiamenti di riferimento.

3. Matrici, determinanti e sistemi lineari

Operazioni sulle matrici. Matrici invertibili. Operazioni elementari e matrici elementari. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Sottomatrici. Determinanti e loro principali proprietà. Teorema degli orlati. Metodi per il calcolo del determinante. Teorema di Binet. Metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice. Nozione di sistema lineare su un campo. Sistemi compatibili. Ricerca delle soluzioni di un sistema. Teorema di Rouché-Capelli (con dim.). Sistemi equivalenti e sistemi in forma normale. Sistemi di Cramer e teorema di Cramer (con dim.). I sistemi omogenei: il sottospazio delle soluzioni. Sistemi parametrici. Insieme delle soluzioni di un sistema e del sistema omogeneo ad esso associato. Rappresentazione
parametrica e cartesiana di un sottospazio.

4. Applicazioni lineari, endomorfismi e diagonalizzazione

Applicazioni lineari e loro proprietà elementari. Applicazione lineare associata ad una matrice e matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi fissate. Matrice del cambiamento di base o di riferimento. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Il teorema dell'equazione dimensionale (con dim.). Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Teorema di caratterizzazione degli automorfismi di uno spazio vettoriale finitamente generato (con dim.). Endomorfismi: autovalori, autovettori, autospazi. Polinomio caratteristico e caratterizzazione degli autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazioni. Diagonalizzabilità di un endomorfismo e di una matrice. Teorema Spettrale.

5. Spazi vettoriali euclidei.

Prodotti scalari definiti positivi in uno spazio vettoriale reale. Spazi vettoriali euclidei reali. Esempi. Norma e modulo di un vettore, ortogonalità; diseguaglianze di C.-S. e triangolare. Basi ortogonali e ortonormali, loro costruzione (procedimento di Gram-Schmidt) e loro proprietà. Matrice di Gram associata ad un prodotto scalare in un fissato riferimento, caso del riferimento ortonormale. Componenti di un vettore in un riferimento ortonormale; prodotto scalare in termini di componenti rispetto a un riferimento ortonormale. Cambiamento di riferimento nel caso ortonormale. Complemento ortogonale di un sottospazio e sue proprietà.

6. Geometria analitica nel piano e nello spazio

Riferimenti cartesiani. Cambiamento di riferimento. Rappresentazione parametrica e cartesiane di rette e piani. Vettore direzionale di una retta. Piano direttore e retta direttrice. Fasci di rette in un piano, fasci di piani nello spazio. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità. Posizioni reciproche tra rette e piani. Distanza tra due luoghi geometrici nello spazio. Ricerca della comune perpendicolare tra due rette. Circonferenza, ellisse, iperbole e parabola visti come luoghi geometrici, loro rappresentazione in un riferimento canonico e proprietà di simmetria.