Come si calcola il prodotto scalare di un vettore?

Il prodotto scalare è una delle operazioni cardine per i calcoli vettoriali: questo mette in relazione a un coppia di vettori un numero reale.   

Nel caso di una prodotti di vettori in 2 dimensioni, ad esempio in componenti lungo i piani x e y, il prodotto scalare  è pari al prodotto del modulo del primo vettore per la componente del secondo vettore lungo la direzione del primo. Questo si calcola come il prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori : siano a e b due vettori, il loro prodotto sarà a * b * cos(α), con l'angolo α è l'angolo minore compreso tra i due vettori. 

Il prodotto scalare protrebbe esserti utlile nel calcolo del Lavoro in Fisica: infatti questo è definito come prodotto scalare della forza applicata e lo spostamento ottenuto: L= F*s*cos(α)  

Possiamo dedurre dedurre qualche considerazione geometrica da questa formula. Infatti se lo spostamento dell'oggetto a cui stiamo applicando una forza è  perpendicolare allora il nostro lavoro sarà 0 in quanto il coseno di 90° gradi è zero. Se questo angolo è minore di 90° gradi sarà positivo e contribuirà allo spostamento dell'oggetto, mentre se l'angolo α sarà maggiore di 90°, il coseno sarà negativo e il lavoro sarà negativo, ossia cercherà di frenare l'oggetto.  

Nel caso invece i vettori fossero tridimensionali, nel caso ti fossero fornite le componenti rispetto ai tra assi cartesiani (x,y,z) sommeremo i prodotti di ciascuna componente per la propria omologa, ossia : dati due vettori c(1,2,3) e d(4,5,6) il loro prodotto scalare sarà 1*4 + 2*5 +3*6