Che cosè la distribuzione binominale? Esempio

La distribuzione binomiale è un importante concetto della statistica e della probabilità che viene utilizzato per analizzare eventi che possono verificarsi in due esiti possibili nelle lezioni di matematica, spesso denominati "successo" e "fallimento". Questa distribuzione prende il nome dal fatto che si basa su due (bi) possibili risultati (nomiale).

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1. Numero di prove (n): Questo rappresenta il numero totale di tentativi o esperimenti che vengono eseguiti. Ad esempio, nel lancio di una moneta, il numero di prove potrebbe essere il numero di volte che lanciamo la moneta.

2. Probabilità di successo (p): Questo è il tasso di successo previsto per ciascuna prova o esperimento. Nell'esempio del lancio della moneta, sarebbe la probabilità di ottenere testa o croce, che è del 50% o 0,5.

3. Probabilità di fallimento (q): Questa è semplicemente la probabilità di non avere successo in una singola prova ed è calcolata come 1 - p. Nel caso del lancio di una moneta, sarebbe anche 0,5.

4. Numero di successi desiderati (k): Questo rappresenta il numero di successi che desideriamo ottenere nelle n prove. Ad esempio, potremmo voler sapere quante volte otterremo testa in 10 lanci di moneta.

La formula della distribuzione binomiale

La probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove può essere calcolata utilizzando la seguente formula:

�(�=�)=(��)⋅��⋅�(�−�)P(X=k)=(kn​)⋅pk⋅q(n−k)

Dove:

• �(�=�)P(X=k) è la probabilità di ottenere k successi.
• (��)(kn​) rappresenta il coefficiente binomiale, che calcola il numero di modi in cui è possibile ottenere k successi in n prove.
• ��pk rappresenta la probabilità di successo elevata alla k-esima potenza.
• �(�−�)q(n−k) rappresenta la probabilità di fallimento elevata alla (n-k)-esima potenza.

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Esempio di applicazione

Supponiamo di lanciare una moneta equilibrata 10 volte e vogliamo calcolare la probabilità di ottenere esattamente 3 teste. Utilizzando la formula della distribuzione binomiale, possiamo calcolare questa probabilità.

�(�=3)=(103)⋅(0,5)3⋅(0,5)7=0,117P(X=3)=(310​)⋅(0,5)3⋅(0,5)7=0,117

Quindi, la probabilità di ottenere esattamente 3 teste in 10 lanci di moneta è del 11,7%.