Asintoti in matematica: verticale, orizzontale, obliquo - esempi pratici

Partiamo innanzitutto a definire cosa è un asintoto. Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a zero quando l'ascissa o l'ordinata del punto tendono a infinito. Vi sono diverse tipologie di asintoti.

ASINTOTO VERTICALE

Data la funzione y=f(x), se si verifica che limx-->c f(x) = infinito

si dice che la retta x=c è asintoto verticale per il grafico della funzione 

Prendiamo ad esempio la funzione logaritmo y=ln(x) per la quale limx-->0 lnx = -infinito. Allora la retta x=0 (ossia l'asse y) sarà asintoto verticale del grafico di funzione.

Il grafico di una funzione può avere più asintoti verticali (anche infiniti!), come nel caso di y=tgx

ASINTOTO ORIZZONTALE

Data la funzione y=f(x), se si verifica una delle seguenti condizioni:

limx-->+infinito f(x) = q o limx-->-infinito f(x)= q o limx-->infinito f(x) = q

si dice che la retta y=q è asintoto orizzontale per il grafico della funzione

Prendiamo come esempio la funzione esponenziale y=e^x per la quale limx-->-infinito e^x = 0. Allora la retta y=0 (cioè l'asse x) è asintoto orizzontale.

Il grafico di una funzione può ammettere un solo asintoto orizzontale oppure due (in tal caso i limiti della funzione per x-->+infinito e per x-->-infinito sono entrambi finiti, ma diversi tra loro).

ASINTOTO OBLIQUO

Data la funzione y=f(x) se si verifica che limx-->infinito [f(x)-(mx+q)] = 0 

si dice che la retta di equazione y=mx+q è asintoto obliquo per il grafico della funzione

Se il grafico della funzione y=f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y=mx+q (con m diverso da 0), allora m e q sono dati dai seguenti limiti:

m = limx-->infinito f(x)/x         e        q = limx-->infinito [f(x)-mx]

Ora che abbiamo analizzato a livello di definizioni gli asintoti verticali, orizzontali, e obliqui, possiamo chiederci come effettivamente si debba ricercarli e dunque come si possa valutar se una certa funzione ne possieda.

ESEMPIO 1

Prendiamo ad esempio la funzione y= f(x) = (4x^2+3)/(x^2-1) e cerchiamo le equazioni dei suoi asintoti orizzontali e verticali. 

Asintoti orizzontali:

limx-->infinito f(x) = 4, dunque y=4 è asintoto orizzontale 

Asintoti verticali:

limx-->+1 f(x) = limx-->-1 f(x) = infinito, dunque x=+1 e x=-1 sono gli asintoti verticali

Ne deriva che, in generale, gli asintoti orizzontali si determinano calcolando limx-->infinito f(x), mentre quelli verticali calcolando limx-->xo f(x) dove x0 non appartiene al campo di esistenza

ESEMPIO 2

Determiniamo, se esiste, l'asintoto obliquo della funzione y=(3x^2-2x+1)/(x-1)

Essendo che limx-->infinito f(x) = infinito, la curva può avere un asintoto obliquo. Calcoliamo allora m:

m = limx-->infinito f(x)/x = limx-->infinito (3x^2-2x+1)/(x^2-x) = 3

Calcoliamo ora q:

q = limx-->infinito [f(x)-mx] = limx-->infinito [[(3x^2-2x+1)/(x-1)] - 3x] = limx-->infinito (x+1)/(x-1) = 1

Tali calcoli sono validi sia per x-->+infinito sia per x-->-infinito e dunque, in entrambi i casi, il grafico della funzione ha un asintoto obliquo di equazione y=3x+1