Guida al calcolo degli asintoti: conoscenze approfondite, metodi e tipologie

Il calcolo degli asintoti è solitamente una delle parti richieste come svolgimento all'interno di uno studio di funzione. Per svolgere correttamente il calcolo degli asintoti, è necessario conoscere in maniera approfondita i limiti, e saperli svolgere anche nelle condizioni di forme indeterminate. Inoltre, è fondamentale calcolare dapprima correttamente il dominio di una funzione al fine da "scovare" eventuali asintoti verticali.

Va detto che gli asintoti non sono sempre presenti in una funzione: esistono casi di funzioni senza asintoti oppure casi di funzione dove sono presenti sia asintoti orizzontali che verticali (oppure verticali e obliqui). Non è invece possibile avere contemporaneamente asintoti orizzontali e obliqui. 

Esitono in particolare 3 tipologie di asintoti:

1) asintoto verticale

2) asintoto orizzontale

3) asintoto obliquo

ASINTOTO VERTICALE: esso va calcolato a partire dai punti "critici" del dominio. Se ad esempio il dominio di una funzione comprende tutti i numeri Reali ad eccezione del 3 (ripeto, un esempio), va calcolato il limite nell'intorno di 3, ovvero per x→3+ e x→3- : se almeno uno di questi due limiti ha come risultato infinito, allora siamo in presenza di asintoto verticale

ASINTOTO ORIZZONTALE: esso va calcolato mediante il limite per x che tende a +- infinito. Qualora il limite di f(x) per x che tende a +- infinito ha come risultato un numerofinito, allora siamo in presenza di asintoto orizzontale. Se invece il risultato di tale limite porta nuovamente ad un risultato di infinito, allora è necessario verificare la presenza di eventuali asintoti obliqui.

ASINTOTO OBLIQUO: si tratta dell'asintoto più difficile da calcolare, in quanto richiede di calcolare il limite di f(x)/x per x che tende a +- infinito. L'asintoto obliquo si basa su una retta y=mx+q, quindi l'obiettivo dei limiti in questo caso è quello di calcolare sia m che q. m=lim[f(x)/x] per x→+-inf ; mentre q = lim[f(x)/x - mx] sempre per x→+-inf.