Che cos'è la regola del tre? Definizione ed esempi

La regola del 3 serve per risolvere problemi in cui sono coinvolte 3 grandezze proporzionali. Per capire meglio di che si tratta possiamo chiedere al nostro insegnante di ripetizioni di matematica di fiducia, oppure vediamo prima alcuni problemi con le proporzioni in cui le grandezze coinvolte sono solo 2.

Cerchi aiuto in matematica?

Toy problem: Problemi con le proporzioni

Consideriamo il seguente problema: in un giorno, Gianpippo mangia 3 caramelle. Quante caramelle mangerà in 5 giorni?

Per risolvere questo problema, occorre come prima cosa notare che, con l'aumentare dei giorni, Gianpippo mangerà (in proporzione) un maggior numero di caramelle: i giorni e il numero di caramelle sono dunque delle grandezze direttamente proporzionali. Ora, supponiamo che Gianpippo mangi x caramelle in 5 giorni, la nostra proporzione, espressa matematicamente, sarà quindi:

"caramelle in un giorno": "caramelle in 5 giorni" = "1 giorno" : "5 giorni"

3 : x = 1 : 5

Che, una volta risolta, ci dà come risultato x = 15.

Ripetizioni di matematica online e a domicilio nella tua città

Luca 1ª lezione gratis (2)10100

Veronica 1ª lezione gratis (1)10100

Vediamo ora un'altra tipologia di problemi in cui le grandezze coinvolte sono in proporzione, ma non diretta. Supponiamo che 6 amici vogliano comprare un regalo di compleanno per Gianpippo, raccogliendo una quota di 4 euro a testa. Se altri due amici si aggiungono, quale sarà la nuova quota?

In questo caso, all'aumentare del numero di amici, la quota da versare a testa diminuisce. Ciò che è costante non è il rapporto tra queste quantità, bensì il prodotto: infatti il prezzo totale del regalo è dato dal numero di amici moltiplicato per la quota che ciascuno versa, e questo prezzo non varia. Quando ciò accade, diciamo che le grandezze coinvolte sono inversamente proporzionali. Per scrivere una proporzione che ci permetta di risolvere questo problema, lo schema da seguire è "inverso" rispetto al caso precedente, cioè della forma seguente:

"8 amici" : "6 amici" = "quota per 6 amici" : "quota per 8 amici"

8 : 6 = 4 : x

da cui ricaviamo che la quota che devono versare gli 8 amici (ovvero i 6 di prima più i due che si sono aggiunti successivamente) sarà x = 3.

Nota: Questo secondo problema si può anche risolvere ponendo direttamente:

"8 amici" . "quota per 8 amici" = "6 amici" . "quota per 6 amici"

8x=6.4

8x=24

x=3.

Articolo correlato 10 Esercizi di matematica per capire le equazioni

Prendere un buon voto in matematica o riuscire a seguire tutte le spiegazioni durante le lezioni di matematica può essere un'odissea. È la materia più temuta dagli studenti delle medie e del lice...

La regola dei 3

Veniamo ora al problema proposto all'inizio: cosa succede se le grandezze tra loro proporzionali sono 3 (o più)? Per esempio, supponiamo di voler risolvere questo problema:

In 20 giorni, 6 operaie producono 120 paia di guanti. In quanti giorni 3 operaie ne producono 30?

Le quantità da confrontare sono: operaie, paia di guanti e giorni. Riassumiamole in una tabella:

operaie:         guanti:           giorni:

  6                     120                  20

  3                      30                    x

L'idea è quella di ricondurci al caso di 2 sole grandezze proporzionali, quindi come prima cosa ricaviamo in quanti giorni 6 operaie producono 30 paia di guanti, oppure in quanti giorni 3 operaie producono 120 paia di guanti. In altre parole, teniamo fissa una delle quantità, ad esempio il numero di operaie, e lavoriamo con le altre due.

Per calcolare in quanti giorni 6 operaie producono 30 paia di guanti, osserviamo che fissando il numero di operaie, giorni di lavoro e guanti prodotti saranno grandezze direttamente proporzionali. Quindi la proporzione che ci dà il numero di giorni sarà:

120 : 30 = 20 : y

da cui y = 5 è il numero di giorni necessari a 6 operaie per produrre solo 30 paia di guanti. Per concludere, fissiamo il numero dei guanti e guardiamo le grandezze "numero di operaie" e "numero di giorni lavorativi". Notiamo che, più sono le operaie, meno saranno i giorni necessari a produrre un dato numero di guanti. Si tratta quindi di grandezze inversamente proporzionali. La proporzione che ci fa calcolare x è quindi:

6 : 3 = x : 50

Da cui x = 10.

Riassumendo...

Per risolvere un problema con la regola dei 3, disponiamo in una tabella i nostri dati riguardanti le tre grandezze proporzionali che conosciamo, chiamiamole A, B e C, con C quella incognita.

Passo 1: Fissiamo il primo valore di B, e risolviamo la proporzione corrispondente tra le grandezze A e C utilizzando i dati iniziali.

Passo 2: Fissiamo ora A e risolviamo la proporzione tra le grandezze B e C ottenuta utilizzando i dati trovati al passo 1. Il risultato ci darà la nostra incognita!

Note:

1. Se le grandezze coinvolte sono più di 3, si applica il passo 1 più volte, facendo via via diminuire di 1 il numero delle grandezze in proporzione.

2. Occhio a valutare se le grandezze del problema sono direttamente o inversamente proporzionali!