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Come funziona il teorema di Gauss e a cosa serve: esempi ed esercizi
Mi piaceIl teorema di Gauss ha numerose applicazioni in fisica, soprattutto nella fisica del campo elettromagnetico. In particolare, il teorema di Gauss permette di calcolare il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa, che è utile per determinare la carica elettrica all'interno della superficie.
Se fate ripetizioni di fisica online oppure in presenza potete farvi spiegare questo difficile teorema dal vostro insegnante privato di fiducia, oppure potete leggere questo breve articolo per chiarirvi qualche concetto.
Esempi per capire il teorema di Gauss
Ad esempio: consideriamo una sfera carica positivamente di raggio R. Se vogliamo calcolare il flusso elettrico attraverso la superficie della sfera, possiamo utilizzare il teorema di Gauss.
In questo caso, il campo elettrico generato dalla sfera è sferico e la sua divergenza è data da:
div E = ρ / ε₀
Dove ρ è la densità di carica e ε₀ è la costante dielettrica nel vuoto. Poiché il campo elettrico è sferico, possiamo utilizzare una sfera immaginaria di raggio R come superficie chiusa.
Applicando il teorema di Gauss, otteniamo:
∮ E * dS = Q / ε₀
Dove Q è la carica contenuta all'interno della superficie. Poiché la superficie chiusa è una sfera di raggio R, possiamo calcolare il flusso attraverso la superficie come:
∮ E * dS = E * 4πR²
Dove E è il modulo del campo elettrico sulla superficie della sfera.
Sostituendo questo nella formula del teorema di Gauss, otteniamo:
E * 4πR² = Q / ε₀
Che ci permette di calcolare la carica contenuta all'interno della superficie:
Q = ε₀ * E * 4πR²
Esercizio per capire il teorema di Gauss
Un esempio di esercizio sul teorema di Gauss potrebbe essere:
Consideriamo un cilindro di raggio R e altezza H con una densità di carica uniforme ρ. Calcolare il flusso elettrico attraverso la superficie laterale del cilindro.
In questo caso, il campo elettrico generato dal cilindro ha una componente radiale e una componente parallela alla superficie laterale del cilindro. Tuttavia, la componente parallela si annulla lungo la superficie laterale, quindi dobbiamo considerare solo la componente radiale.
La divergenza del campo elettrico è data da:
div E = ρ / ε₀
Poiché il campo elettrico è uniforme, possiamo scrivere:
E = ρ * r / (2πε₀)
Dove r è la distanza dal centro del cilindro.
Possiamo quindi utilizzare una superficie immaginaria costituita dalla superficie laterale del cilindro e due tappi circolari, per applicare il teorema di Gauss.
Il flusso attraverso i tappi circolari è nullo, poiché il campo elettrico è parallelo alla superficie. Quindi, il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro è uguale al flusso attraverso la superficie immaginaria:
∮ E * dS = E * 2πRH
Dove H è l'altezza del cilindro.
Spero di essere stato chiaro, in queste poche righe anche se l'argomento è molto complesso.
Buon lavoro!
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