Come si calcola il prodotto scalare di un vettore?

Scopriamo insieme come si calcola il prodotto scalare di un vettore nelle lezioni di matematica.

Siano x = (x₁, x₂, ..., xₙ), y = (y₁, y₂, ..., yₙ) ∈ ℝⁿ. Si definisce PRODOTTO SCALARE dei vettori x e y lo scalare <x, y> := x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ ∈ ℝ.

ESEMPIO: Dati i vettori x = (1, 2, 3) e y = (4, 5, 6), <x, y> = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32.

Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo. Ad esempio i vettori (1, 0, 0, 1) e (0, 1, 1, 0) sono ortogonali poichè il loro prodotto scalare vale 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 0. 

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Interpretazione geometrica del prodotto scalare 

Nel piano ℝ² e nello spazio ℝ³, è possibile dare una definizione geometrica del prodotto scalare. Consideriamo il caso di ℝ², per ℝ³ valgono considerazioni analoghe.

Siano x = (x₁, x₂), y = (y₁, y₂) x = (y₁, y₂) ∈ ℝ² e α l'angolo compreso tra i vettori x e y. <x,y> = |x|·|y| cos(α), dove |x| = √(x₁² + x₂²) è il modulo del vettore x e |y| = √(y₁² + y₂²) è il modulo del vettore y. 

OSSERVAZIONE: Osserviamo che se α = 90°, cioè i due vettori sono ortogonali, cos(α) = 0, quindi il prodotto scalare è nullo, in accordo con la definizione data precedentemente.

ESEMPIO: Consideriamo i vettori x di modulo 2 e y di modulo 3 e supponiamo che l'angolo compreso tra i due vettori sia di 30°. Allora <x,y> = 2·3 cos(30°) = 6 · 1/2 = 3. 

È possibile calcolare il prodotto scalare di un vettore per se stesso, ovvero dato x = (x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ ℝⁿ, <x, x> = x₁² + x₂² + ... + xₙ² = |x|². 

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