I teoremi del seno e del coseno, spiegazione con esempi grafici

Nel precedente articolo che ho trattato intitolato "Come calcolare l'arco in una circonferenza..." avevo già introdotto il tema della trigonometria. Per non ripetermi in questo articolo vi consiglio di andare a leggerlo e vi ringrazio in anticipo.

Lezioni di matematica online

Dopo questa premessa passiamo all' articolo in questione.

Partiamo dalla definizione di seno e coseno.

Seno e coseno, indicate con sin(α) e cos(α), sono due funzioni trigonometriche.

 

Sapete come si calcola il seno?
 
il seno di Cˆ (sen Cˆ ) è uguale al rapporto tra il cateto opposto a Cˆ e l'i- potenusa.
Vediamo insieme:
se prendiamo come esempio un triangolo rettangolo, il seno dell'angolo α è il rapporto tra il cateto BC e l'ipotenusa OB. Il coseno di α invece è il rapporto tra l'altro cateto OC e, di nuovo, l'ipotenusa OB
 
Mentre il coseno di Cˆ (cos Cˆ ) è uguale al rapporto tra il cateto adiacente a Cˆ e l'ipotenusa

 

Cosa dice il teorema del seno?

Il teorema del seno può essere anche enunciato nel seguente modo: In un triangolo, il rapporto fra i lati e i seni degli angoli opposti é uguale al diametro della  circonferenza circoscritta. 

A titolo informativo, aggiungiamo che il concetto di seno fu introdotto dal matematico e astronomo indiano Aryabhata nella sua opera Aryabhatiya (499).

 

Il seno è per definizione la metà di una corda, cioè un segmento che unisce due punti (detti estremi) di una circonferenza.

 

 

Per avere una maggiore conoscenza trattiamo il teorema del seno e del coseno 

Ma cosa è un teorema?

Per i neofiti, spieghiamo che un teorema è un costrutto matematico che viene espresso mediante una proposizione, detta enunciato, e dimostrata mediante un ragionamento logico, detto dimostrazione; possiamo anche definire un teorema come un'implicazione logica tra due predicati, il primo dei quali si dice ipotesi e il secondo tesi. Le ipotesi sono le condizioni iniziali su cui si vuole ragionare.

 

Cosa dice il teorema del coseno?

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato é uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo che essi formano. Quindi ci permette facilmente di trovare la misura del lato di un triangolo qualsiasi avendo noti due lati del triangolo e l'angolo fra loro compreso.

Ricordiamoci che per risolvere i problemi di trigonometria possiamo decidere il metodo migliore da usare. Ci può aiutare il diagramma di flusso qui sotto:

 

Scopri gli insegnanti di matematica vicino a te!
Diego (57)9100
Federico 1ª lezione gratis (65)9100

 Ringrazio tutti voi per l'attenzione posta alla lettura di questo articolo vi auguro un buono studio lasciandovi con quest' ultimo esempio

.

Per calcolare l'ampiezza di un angolo, si usa la seguente formula:

      sin(A) = sin(B)
a b

Come prima è necessario applicare solo una uguaglianza del teorema dei seni e conoscere almeno un lato e il relativo angolo opposto.

 

 

Esempio:
Calcolare l'angolo m° nella seguente figura:
  Per il calcolo dell'ampiezza di un angolo si usa la seguente formula:
      sin(A) = sin(B)
a b
  Si sostituiscono nella formula i valori noti:
      sin(m°) = sin(75°)
8 10
  Risolvere l'equazione per calcolare l'ampiezza dell'angolo incognito:
  sin(m°) = sin(75°)
     (moltiplicare per 8 entrambi i membri)
 
8 10  
  sin(m°) = sin(75°) × 8  
10  
  sin(m°) = 0.773 (3 cifre significative)  
  Usare la funzione arcoseno (sin–1) per calcolare l'ampiezza dell'angolo:
  m° =

sin–1(0.773) = 50.6°

 

 

Il teorema del coseno può essere applicato a tutti i triangoli.

Per il calcolo di un lato, occorre conoscere gli altri lati e l'angolo opposto, applicando la seguente formula:
     a2 = b2 + c2 – 2bc cos(A)

Dove il lato a è incognito e i lati b e c sono noti, l'angolo A è opposto al lato a.

Esempio:

Calcolare la lunghezza del lato x della figura seguente:
  La formula del teorema del coseno da applicare è:
     a2 = b2 + c2 – 2bc cos(A)
  Sostituendo nella formula i valori noti e l'incognita si ottiene:
     x2 = 222 + 282 – 2×22×28×cos(97°)
Non importa in quale ordine si considerano i lati b e c – la formula dà il risultato comunque.
  Calcolare il secondo membro e poi la radice quadrata di entrambi per ricavare il risultato:
     x2 = 222 + 282 – 2×22×28×cos(97°)
     (calcolo del secondo membro)
     x2 = 1418.143.....
     (radice quadrata di entrambi i membri)
     x =

 

 

Per il calcolo dell'ampiezza di un angolo si utilizza la formula del teorema del coseno che ha cos(A) al primo membro:
cos(A) = b2 + c2 – a2
2bc
E' molto importante mantenere i termini al numeratore nell'ordine corretto: b e c sono i lati dell'angolo A che si sta cercando e il lato a è opposto ad A.

 

 

Ti è piaciuto? Condividilo
Usa il nostro Strumento di Ricerca Intelligente
© 2007 - 2024 Letuelezioni.it è un membro della famiglia GoStudent Mappa del sito: Insegnanti privati