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Geometria
Esempi grafici di seno e coseno

I teoremi del seno e del coseno: esempi grafici

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I teoremi del seno e del coseno sono delle relazioni geometriche utili per determinare la lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli in un triangolo.

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Teorema del seno

Consideriamo un triangolo qualsiasi dove abbiamo:

· a, b e c che rappresentano la lunghezza dei lati

· a, b e g che rappresentano gli angoli opposti alle lunghezze a, b e c

Definizione: in un triangolo qualsiasi il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante per tutti e tre i lati.

Esaminiamo meglio la definizione, se noi prendiamo il rapporto tra la lunghezza b e il seno dell’angolo opposto b otterremo un valore che possiamo definire con K (costante) un valore che non cambia, analogamente facendo il rapporto tra la lunghezza a e il seno dell’angolo opposto a otterremo lo stesso valore della costante K.

Quindi potremmo scrivere che:

dove C avrà lo stesso valore in tutti e tre i casi, di conseguenza si potrebbe affermare che il rapporto tra la lunghezza a e il seno dell’angolo opposto a sarà uguale al rapporto tra la lunghezza b e il seno dell’angolo opposto b come sarà uguale anche al rapporto tra la lunghezza c e il seno dell’angolo opposto g. di conseguenza possiamo tranquillamente scrivere:

esempio

consideriamo di avere i seguenti dati della figura precedentemente esaminata: g=50°, b=60° ed infine a= 10 cm

per poter applicare il teorema dei seni, è necessario trovare l’incognita per poter svolgere l’esempio, di conseguenza si andrà a ricavare a che non è altro che la differenza tra la somma totale degli angoli di un triangolo e i suoi rispettivi due angoli a noi noti.

a= 180 -g -b = 180°–50°–60° = 70°

ora conosciamo i dati necessari per poter svolgere il teorema dei seni

conosciamo tutti gli angolo e una lunghezza, di conseguenza si andrà a ricavare una delle due incognite mancanti, b e c

Si andrà ad isolare l’incognita da trovare, portando tutti i valori conosciti nell’altra parte (se è al denominatore, passerà al numeratore moltiplicando il valore esistente)

Sostituendo con i valori numerici si otterrà:

· b= 9,216 cm

NB: ho tenuto 3 cifre significative dopo la virgola per rendere il risultato finale più attendibile possibile

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Successivamente si andrà a trovare l’ultima incognita c applicando la stessa logica

Isolo l’incognita con la stessa procedura applicata precedentemente

Sostituendo con i valori numerici si otterrà:

C= 8,152 cm

Dopo aver ottenuto l’ultima incognita si andrà a verifica i tre rapporti delle lunghezze e il seno dei loro rispettivi angoli opposti:

· K= 10,64

· K=10,64

Conclusione: La costante K come da risultato si ripete in tutti e tre i rapporti, a dimostrazione che la definizione è corretta.

Teorema del coseno

Consideriamo un triangolo qualsiasi dove abbiamo:

· a, b e c che rappresentano la lunghezza dei lati

· a, b e g che rappresentano gli angoli opposti alle lunghezze a, b e c

definizione: in un triangolo qualsiasi, il quadrato della lunghezza di uno dei tre lati è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati, diminuito del doppio del prodotto tra le lunghezze dei due lato e del coseno dell’angolo compreso dei medesimi.

Esaminando meglio tale definizione si può scrivere che:

per quanto riguarda il triangolo rettangolo quando si andrà a determinare l’ipotenusa, il coseno dell’angolo retto (90°) darà come risultato 0 e di conseguenza la formula si riduce a :

Esempio:

se vogliamo determinare la lunghezza c ci basterà svolgere il teorema tenendo conto che c è al quadrato e di conseguenza al risultato finale basterà metterlo sotto la radice quadrata

Prendendo sempre i valori precedenti applicati nel teorema dei seni, proviamo a svolgere il problema:

C= 8,152 (come valore è uscito lo stesso come lo è stato per il teorema dei seni)

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Proviamo invece a calcolare invece angolo g che sarà dato alla formula inversa, successivamente dopo aver trovato il coseno di g basterà semplicemente fare un arc coseno per trovare il valore effettivo. Ma vediamo la formula nel complesso.