Come fattorizzare in base al tipo di polinomio? Spiegazione con esempi

Fattorizzare un polinomio non è una cosa difficile, la brutta notizia è che bisogna conoscere tutti i prodotti notevoli, ma con un po' di esercizi diventa tutto molto semplice!

Principali prodotti notevoli:

1) Quadrato di un binomio

a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 = (a+b)(a+b) ;  a^2-2ab+b^2= (a-b)^2

Es. 1+25x^2+10x= (5x+1)^2= (5x+1)(5x+1)

2) Differenza di quadrati 

a^2-b^2=(a+b)(a-b) ; (a+b)^2-c^2= (a+b+c)(a+b-c) ; a^2-(b+c)^2 = (a+b+c)[a-(b+c)]

Es. 64x^2-b^2y^2 = (8x+by)(8x-by); Es. 9-(5x+3)^2 = (3+ 5x +3)[3-(5x+3)]

3) Differenza di cubi

a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) 

es. 8y^3-27x^3 = (2y-3x)(4y^2-6xy+9x^2)

4)Somma di cubi

a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

es.  x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)

5) Cubo di un binomio

a^3+3ab^2+3a^2b+b^3 = (a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) 

Tenendo a mente questi prodotti notevoli il metodo di fattorizzazione di un polinomio è il seguente:

passo 1: Vedere se è possibile mettere in evidenza un qualsiasi monomio o scalare dal polinomio di partenza. La messa in evidenza  è più facile da capire mediante i seguenti  esempi senza troppi giri di parole.

pol. di partenza  3x+x^2 , è facile notare che i due monomi che costituiscono il polinomio (3x; x^2) hanno un termine in comune, ossia il monomio x.

La messa in evidenza consiste nell'estrarre il termine in comune dalla sommatoria moltiplicando questo termine per ciò che rimane, quindi 3x+x^2 = x (3+ x).

Altri esempi:

20x+5 = 5 (4x+1)

36x^3+6x^2 = 6x^2( 6x+ 1)

2+40x+12x^2 = 2(1+20x+6x^2)

Se non c'è nulla da mettere in evidenza osservare se si riconosce qualche prodotto notevole.

passo 2: Riconoscere tra i polinomi che si ottengono se ci sono dei prodottti notevoli da poter scomporre direttamente.

passo 3: Arrivati a questo punto se siamo in presenza di un trinomio del tipo x^2+bx+c si può procedere a scomporlo trovando la coppia di numeri (f,g) che fa si che c sia il prodotto mentre b sia la somma, dopo di che possiamo fattorizzare il polinomio nel seguente modo x^2+bx+c = (x+f)(x+g).

esempi:

x^2 + 6x + 5     sappiamo che f*g= 5 mentre f+g = 6 allora si nota con facilità che i numeri sono 1 e 5. Quindi x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5)

x^2+2x+1        il prodotto è 1, mentre la somma è 2 quindi si ha che x^2+2x+1 = (x+1)(x+1) = (x+1)^2 avremmo potuto riconoscere da subito, grazie ai prodotti notevoli, che si trattava di un quadrato di binomio. Però ciò ci è servito anche per verificare il risultato corretto.