Come si trova l'equazione della retta conoscendo due punti? Spiegazione con esempi

Supponiamo di avere due punti del piano P(x₁; y₁) e Q(x₂; y₂). Allora l'equazione della retta passante per i punti P e Q è (y - y₁)(x₂ - x₁) = (x - x₁)(y₂ - y₁)

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Esempio:

Determiniamo l'equazione della retta passante per i punti P(2; 0) e Q(1; 2)                               Applicando la precedente formula l'equazione è della forma y(1 - 2) = (x - 2)(2 - 0), ovvero            -y = 2x - 4 e quindi y = -2x + 4

Osservazione:

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa (o rispettivamente stessa ordinata), ovvero se P(x₁; y₁) e Q(x₁; y₂) (o rispettivamente Q(x₂; y₁)), l'equazione della retta passante per P e Q è x = x₁ (o rispettivamente y = y₁). Infatti se ad esempio P(1; -1) e Q(1; 3), applicando la formula                  (y - y₁)(x₂ - x₁) = (x - x₁)(y₂ - y₁), si ottiene (y + 1)(1 - 1) = (x - 1)(3 + 1) e tramite banali calcoli si ottiene proprio la retta di equazione x = 1. Analogamente se P(3; 5) e Q(7; 5), applicando la formula (y - y₁)(x₂ - x₁) = (x - x₁)(y₂ - y₁), si ottiene (y - 5)(7 - 3) = (x - 3)(5 - 5), che è proprio la retta y = 5.

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Coefficiente angolare di una retta passante per due punti

Il coefficiente angolare della retta passante per i punti P(x₁; y₁) e Q(x₂; y₂) è m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

Esempi:

Se P(2; 0) e Q(1; 2), m = (2 - 0)/(1 - 2) = -2

Se P(3; 5) e Q(7; 5), m = (5 - 5)/(7 - 3) = 0; pertanto questo esempio spiega che se due punti hanno la stessa ordinata, la retta passante per i due punti ha coefficiente angolare nullo, quindi le rette orizzontali di equazione y = y₁, hanno coefficiente angolare m = 0.

Se P(1; -1) e Q(1; 3), non è definito il coefficiente angolare, poichè in questo caso avremmo che m = (3 + 1)/(1 - 1) = 4/0; pertanto da questo esempio si evince che se due punti hanno la stessa ascissa, non è definito il coefficiente angolare della retta passante per i due punti, quindi si dice che le rette verticali di equazione x = x₁ hanno coefficiente angolare m = ∞