Esempi ed esercizi per capire il teorema di Gauss

Il teorema di Gauss, noto anche come legge di Gauss o teorema della divergenza, è uno dei principali teoremi del calcolo vettoriale. Esso permette di calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa, in termini della distribuzione delle sorgenti del campo all'interno della superficie, perciò non si può fare a meno di includerlo nel programma delle lezioni di fisica di qualsiasi scuola.

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In pratica, il teorema di Gauss può essere usato per calcolare il flusso di un campo vettoriale (ad esempio il campo elettrico o il campo di velocità di un fluido) attraverso una superficie chiusa. Il teorema stabilisce che il flusso attraverso la superficie è proporzionale alla somma delle sorgenti all'interno della superficie stessa.

Un esempio di applicazione del teorema di Gauss è il calcolo del flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme. Se consideriamo una sfera di raggio r centrata sulla carica puntiforme, il teorema di Gauss ci dice che il flusso attraverso la superficie sferica è proporzionale alla carica all'interno della sfera. Questo ci consente di calcolare il campo elettrico generato dalla carica puntiforme in un punto qualsiasi dello spazio.

Esercizi con soluzione sul teorema di Gauss

Ora analizziamo nel dettaglio 5 esercizi:

Esercizio 1

Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (2x + 3y) i + (3x + 4y) j attraverso la superficie S data dall'intersezione tra il cilindro x^2 + y^2 = 9 e i piani z = 0 e z = 1.

Soluzione:

Il flusso del campo vettoriale attraverso una superficie chiusa è dato dall'integrale triplo del divergente del campo vettoriale su un volume V che ha la superficie come suo bordo. In questo caso, possiamo utilizzare il teorema di Gauss per calcolare il flusso. Il divergente di F è dato da div F = 5. L'area della superficie S è data da A = 2π(3)(1) + π(3)^2 = 15π. Quindi, il flusso del campo vettoriale attraverso S è dato da ∫∫(F · n) dA = ∫∫(5) dA = 5A = 75π.

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Esercizio 2

Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (x^2 + y^2) i + z j + x k attraverso la superficie S data dalla parte superiore del paraboloide z = 1 - x^2 - y^2.

Soluzione:

Anche in questo caso, possiamo utilizzare il teorema di Gauss per calcolare il flusso. Il divergente di F è dato da div F = 2x + 1. Poiché la superficie S è aperta, dobbiamo prima creare un volume chiuso che abbia S come suo bordo. Possiamo fare ciò aggiungendo la base del paraboloide, ovvero il piano z = 0, e il bordo del cerchio x^2 + y^2 = 1. Quindi, il volume V è dato da V = {(x, y, z) | x^2 + y^2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 - x^2 - y^2}. L'integrale triplo del divergente di F su V è dato da ∫∫∫(div F) dV = ∫∫∫(2x + 1) dV = 4/3. Quindi, il flusso del campo vettoriale attraverso S è dato da ∫∫(F · n) dA = ∫∫(div F) dV = 4/3.

Esercizio 3

Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x,y,z) = (x+y+z)i + (x^2+y^2+z^2)j + (x^3+y^3+z^3)k attraverso la superficie S costituita dall'intersezione del cilindro x^2+y^2=4 con il piano z=0 e orientata verso l'alto.

Soluzione:

Prima di applicare il teorema di Gauss, dobbiamo verificare se il campo vettoriale F soddisfa le condizioni di regolarità necessarie. La funzione è chiaramente continua e i suoi gradienti parziali sono continui in tutto lo spazio. Possiamo quindi applicare il teorema di Gauss per calcolare il flusso del campo vettoriale. Poiché la superficie S è chiusa e limitata, il flusso attraverso di essa è uguale al volume racchiuso dalla superficie stessa. La superficie S è costituita da un cerchio di raggio 2, quindi il suo volume è V = πr^2h = 0. Il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie S è quindi 0.

Esercizio 4

Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x,y,z) = xi + yj + zk attraverso la superficie S costituita dalla sfera di raggio 3 centrata nell'origine e orientata verso l'esterno.

Soluzione:

Anche in questo caso, dobbiamo verificare se il campo vettoriale F soddisfa le condizioni di regolarità necessarie. La funzione è chiaramente continua e i suoi gradienti parziali sono continui in tutto lo spazio. Possiamo quindi applicare il teorema di Gauss per calcolare il flusso del campo vettoriale. La superficie S è chiusa e limitata, quindi il flusso attraverso di essa è uguale al volume racchiuso dalla superficie stessa. Il volume della sfera di raggio 3 è V = (4/3)πr^3 = 36π. Quindi, il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie S è F = ∫∫S FdS = ∫∫S FNdS = ∫∫S (x,y,z) * NdS = ∫∫S (x,y,z) * rdΩ = ∫∫S r^2sin(θ)dθdϕ = 36π.

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Esercizio 5 (più lungo ma non più complicato!)

Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (y^2 - z) i + (x^2 - z) j + (x^2 + y^2) k attraverso la superficie S costituita dal cilindro x^2 + y^2 = 1 e i piani z = 0 e z = 2.

Soluzione:

Per calcolare il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie S, dobbiamo utilizzare il teorema di Gauss, applicando la seguente formula:

∬S F ∙ dS = ∭V div(F) dV dove div(F) è la divergenza del campo vettoriale F e dV è l'elemento di volume infinitesimo. In questo caso, il campo vettoriale F è già dato.

Possiamo quindi calcolare la sua divergenza: div(F) = ∂/∂x (y^2 - z) + ∂/∂y (x^2 - z) + ∂/∂z (x^2 + y^2) = 2x + 2y

La superficie S è costituita dal cilindro x^2 + y^2 = 1 e dai piani z = 0 e z = 2.

Possiamo quindi dividere il calcolo del flusso in tre parti: ∬S F ∙ dS = ∫∫S1 F ∙ dS + ∫∫S2 F ∙ dS + ∫∫S3 F ∙ dS dove S1 è la base inferiore del cilindro (z = 0), S2 è la base superiore del cilindro (z = 2) e S3 è la superficie laterale del cilindro.

Per S1 e S2, il vettore normale dS punta lungo l'asse z negativo e ha modulo pari all'area del cerchio unitario: dS = -k dxdy Per S3, possiamo utilizzare la parametrizzazione del cilindro in coordinate cilindriche: x = cos(theta) y = sin(theta) z = z dove theta va da 0 a 2pi e z va da 0 a 2.

Il vettore normale dS ha quindi la forma: dS = (cos(theta) i + sin(theta) j) dz dtheta Possiamo quindi calcolare il flusso per ogni superficie:

∫∫S1 F ∙ dS = ∫∫D F(x,y,0) ∙ (-k) dxdy = ∫∫D -z dxdy = -∫∫D 0 dxdy = 0 dove D è il cerchio unitario in coordinate cartesiane.

∫∫S2 F ∙ dS = ∫∫D F(x,y,2) ∙ k dxdy = ∫∫D (4x^2 + 4y^2) k dxdy = 4 ∫∫D dxdy = 4π

∫∫S3 F ∙ dS = ∫0^2 ∫0^2π F(cos(theta),sin(theta),z) ∙ (cos(theta) i + sin(theta) j) dz dtheta

= ∫0^2 ∫0^2π [(sin(theta))^2 - z] cos(theta) + [(cos(theta))^2 - z] sin(theta) + (cos(theta))^2 + (sin(theta))^2 dz dtheta

= ∫0^2 ∫0^2π (2cos(theta) + 2sin(theta) - z) dz dtheta

= ∫0^2 ∫0^2π 2cos(theta) dz dtheta + ∫0^2 ∫0^2π 2sin(theta) dz dtheta - ∫0^2 ∫0^2π z dz dtheta

= 0 + 0 - 4π

Quindi il flusso totale del campo vettoriale F attraverso la superficie S è:

∬S F ∙ dS = ∫∫S1 F ∙ dS + ∫∫S2 F ∙ dS + ∫∫S3 F ∙ dS = 0 + 4π - 4π = 0

Quindi il flusso del campo vettoriale F attraverso la superficie S è nullo.

5 esercizi di ripasso 

Vi lascio 5 esercizi da completare da soli

1. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (x^2 + y^2)i + (y^2 + z^2)j + (z^2 + x^2)k attraverso la superficie della sfera di raggio 2 centrata nell'origine.

2. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = x^2i + y^2j + z^2k attraverso la superficie del cubo di lato 1 centrato nell'origine.

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (x + y)i + (y + z)j + (z + x)k attraverso la superficie del cilindro di raggio 2 e altezza 4, con asse parallelo all'asse z.

4. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (x^2 + y^2)j + (y^2 + z^2)i attraverso la superficie del paraboloide z = x^2 + y^2 che giace sopra il piano z = 0.

5. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = xi + yj + zk attraverso la superficie della sfera di raggio 1 centrata nell'origine, utilizzando il teorema di Gauss in forma integrale e in forma differenziale.