Esplorando il mondo del prodotto scalare tra vettori

Vediamo come si calcola il prodotto scalare tra vettori.

Innanzitutto, occorre specificare la differenza tra grandezze scalari e grandezze vettoriali.
- Le grandezze scalari sono tutte quelle che possono essere espresse semplicemente tramite un numero ed un'unità di misura (ad esempio: la massa, il tempo, la lunghezza, etc.): se diciamo infatti di avere un oggetto che ha massa 1 kg, abbiamo dato tutte le info utili sulla grandezza massa;
- Le grandezze vettoriali sono invece quelle che necessitano di ulteriori informazioni per essere complete. Ad esempio, se parliamo di uno spostamento di 1 metro, non basta soltanto dire qual è la lunghezza (il modulo) di tale spostamento, ma occorre anche specificare verso dove c'è stato lo spostamento, e da dove è partito. Si tratta infatti di specificare il punto di applicazione e la direzione e il verso del vettore, cioè il mezzo tramite cui si indica una grandezza di tipo vettoriale.
Anche altre grandezze come la forza, la velocità, l'accelerazione e molte altre grandezze della fisica sono espresse tramite vettori.

I vettori, usualmente indicati con una freccia la cui punta indica il verso, possono essere sommati, sottratti e anche moltiplicati. In realtà, la moltiplicazione tra vettori può essere di due tipi: si parla di prodotto scalare se si fa riferimento al prodotto tra due vettori che restituisce una grandezza scalare come risultato; il prodotto vettoriale, viceversa, restituisce un vettore. In questo articolo approfondiremo il prodotto scalare.

Per prodotto scalare tra due vettori, si intende una moltiplicazione del tipo a • b, dove a e b sono due vettori qualunque che hanno le loro caratteristiche specifiche (modulo, direzione, verso) e il simbolo • indica il prodotto scalare. Il risultato, come già accennato, è una grandezza scalare, quindi un numero. Il valore di tale risultato sarà dato da a*b*cos θ, quindi dalla moltiplicazione dei moduli dei due vettori per il cosθ (dove θ è l'angolo che formano i due vettori a e b tra loro). 

In formule: a • b= abcosθ

• Quali sono i casi particolari?
  Ovviamente, trattandosi di un prodotto che comprende il coseno di un angolo, ci saranno dei valori dell'angolo per cui il prodotto scalare assumerà valore minimo o massimo:
  -Per θ=0°, sappiamo che cos0°=1, valore massimo: dunque in questo caso il prodotto scalare assumerà valore massimo;
  -Per θ=90°,270°, cosθ=0: il prodotto scalare sarà il modulo dei due vettori moltiplicato per 0, quindi prodotto scalare nullo;
  -Per θ=180°, cosθ=-1, valore minimo: il prodotto scalare assumerà il suo valore minimo.
  -In generale, per angoli θ compresi tra 0° e 90° , oppure tra 270° e 360°, il coseno è positivo e quindi il prodotto scalare assumerà valore positivo
  -Per angoli compresi tra 90° e 270° il coseno assume valori negativi, di conseguenza il prodotto scalare è negativo.

Ricordiamo che i moduli dei vettori sono sempre positivi, in quanto il modulo esprime il valore di lunghezza del vettore.