Guida al calcolo del prodotto scalare di un vettore

In questo articolo andremo a vedere insieme come si può calcolare il prodotto scalare tra due o più vettori. Innanzitutto ricordiamo alcune nozioni base dei vettori:

Grandezza vettoriale. Una grandezza vettoriale viene distinta in fisica da una grandezza scalare per la sua rappresentazione: mentre le grandezze scalari necessitano semplicemente di un numero e un'unità di misura per essere espresse (esempio, 5 s per indicare una misura temporale), le grandezze vettoriali hanno bisogno di alcune definizioni in più (dove sono applicate? verso dove?). I vettori, appunto, sono indicati graficamente con delle frecce la cui punta indica il verso di applicazione. Hanno un'origine, o punto di applicazione, e una specifica direzione. Il loro modulo, o intensità, è rappresentato dalla lunghezza della freccia.

Somma tra vettori. La somma tra due vettori è esprimibile graficamente tramite il metodo punta-coda oppure con la regola del parallelogramma. Per quanto riguarda la somma matematica (per trovare il valore del modulo), se i due vettori si trovano nella stessa direzione e hanno lo stesso verso, basta semplicemente fare la somma dei loro moduli; se invece hanno verso opposto, si fa una sottrazione tra i loro moduli. Infine, se i vettori hanno bisogno di essere sommati con la regola del parallelogramma, per trovare il valore del modulo del vettore somma si può operare la regola della scomposizione in componenti dei vettori lungo l'asse x e y, e poi sommare i moduli delle componenti. 

Prodotto tra vettori. Il prodotto tra vettori può restituire una grandezza scalare o vettoriale, a seconda del tipo di prodotto. Vediamo qui il prodotto scalare. 

Il prodotto scalare tra due vettori a e b si scrive in questo modo: a·b 

I due vettori a e b , moltiplicati tra loro restituiscono un numero, una grandezza scalare (come dice il nome del prodotto). Il risultato è quindi un numero dato dal prodotto dei moduli dei due vettori, moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra essi. Perciò a·b = a*b*cosα .

-Perciò, se i due vettori si trovano a formare un angolo di 90° (ovvero sono perpendicolari tra loro), il coseno sarà minimo e uguale a zero. Di conseguenza, anche il prodotto scalare tra i due vettori darà risultato nullo;
-Se invece i due vettori formano un angolo qualsiasi maggiore di 90° e minore di 270° , il coseno darà risultato negativo, e così anche il prodotto scalare. (ATTENZIONE! Il prodotto scalare di due vettori può essere negativo, e ciò dipende solo dal segno del coseno! I moduli dei due vettori sono necessariamente positivi per definizione!);
-Un altro caso particolare è quando i due vettori a e b sono paralleli tra loro e hanno stesso verso (formando un angolo di 0°): in tal caso, il coseno di 0° ci restituisce valore 1, quindi il prodotto scalare è semplicemente il prodotto dei moduli dei due vettori.
-Analogamente, se i due vettori formano un angolo di 180°, perciò sono opposti in verso ma con uguale direzione, il prodotto scalare è il prodotto dei due moduli con il segno cambiato (perchè cos180°=-1).