Come si calcola il prodotto scalare di un vettore?

Non basta un vettore per calcolare un prodotto scalare, ne servono almeno due, anche coincidenti, ma almeno due!

Il prodotto scalare S tra due vettori generici A e B ha come risultato uno scalare, cioè un numero (al massimo dotato di unità di misura), e non più un vettore. Per ottenerlo basta sommare i prodotti delle componenti omologhe come di seguito.

S= (compXdiA)(compXdiB) + (compYdiA)(compYdiB) + (compZdiA)(compZdiB)

Come in quest'esempio, in 3 dimensioni i vettori hanno 3 componenti, ma è possibile usare questa stessa definizione anche per vettori in 2, 4, 6 o qualunque numero di componenti. Per esempio in 2 dimensioni sarà semplicemente:

S= (compXdiA)(compXdiB) + (compYdiA)(compYdiB) .

Inoltre, in 2 dimensioni, è possibile dimostrare che una definizione di prodotto scalare equivalente a quella appena data è di S come prodotto (algebrico) tra i moduli dei vettori A e B dati e il coseno dell'angolo tetha tra essi compreso

S = |A||B|cos(tetha) .

Nel caso particolare del calcolo del prodotto scalare di un vettore con se stesso (considerato a rigore, un altro vettore coincidente) otteniamo qualcosa che ci permette di conoscere il modulo del vettore stesso. Infatti svolgendo si ottiene

S= (compXdiA)(compXdiA) + (compYdiA)(compYdiA) = (compXdiA)^2 + (compYdiA)^2

che non è altro che il teorema di pitagora applicato al vettore A dato. E cioè se si costruisce un triangolo rettangolo con le componenti X e Y di A come cateti e A come ipotenusa sappiamo, proprio per il teorema di pitagora, che il quadrato della misura dell'ipotenusa equivale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti. E cioè in definitiva il prodotto scalare di un vettore con se stesso equivale a:

S = (compXdiA)^2 + (compYdiA)^2 = |A|^2 .

Se quindi volessimo conoscere il modulo del vettore A dato, a partire dalle sue componenti, basterà svolgere la radice quadrata del prodotto scalare S del vettore A con se stesso:

|A| = radq(S) = radq(|A|^2) .