L'algebra e le 4 (uiniche) regole: quello che spesso non si dice in modo chiaro

Sono solito ripetere ad nauseam ai miei studenti che devono smetterla di imparare regole su regole: per quanto riguarda l'algebra (scolastica), tutta l'algebra si fa con pochissimi ingredienti che però vanno capiti profondamente. Purtroppo a scuola gli insegnanti tendono a non insegnare queste poche regole.

Le regole fondamentali dell'algebra

1. le operazioni sono solo 2: somma e prodotto (dimenticate sottrazione e
     divisione)
2. nell'insieme dei numeri esiste una cosa che si chiama elemento neutro (rispetto ad una certa operazione) cioè un elemento che non cambia nulla:
   1. per la somma è lo 0 (zero): a+0=a
   2. per la moltiplicazione è l'1 (uno): a*1=a
3. sempre nello stesso insieme esiste una altra cosa che si chiama elemento opposto (o inverso); anche questo rispetto ad una data operazione. È definito a partire dall'elemento neutro:
1. per la somma l'opposto di "a" è "-a" in modo che a+(-a)=0
2. per la moltiplicazione l'opposto (inverso) di "a" è "1/a" in modo che a (1/a)=1
4. vale la regola della "bilancia": potete fare (quasi) tutto quello che voleta a destra e a sinistra del simbolo "=" a patto che facciate esattamente la stessa cosa (sommare o moltiplicare ... ma non moltiplicate per zero!). Però prima dovete dimenticare, cancellare, distruggere dentro di voi, la convinzione che vi hanno inculcato alle elementari che il segno "=" abbia un verso; lo so che lo sapete e che è ovvio, ma deve  essere veramente parte di voi: 5+3=8 ma anche 8=5+3

Basta, tutto qua.

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Maria Palmira (1)10100

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E uno dice, "si, ma la sottrazione?". Eh, la sottrazione è una somma: a-b=a+(-b). E se invece devo dividere? Ma dai, ancora non hai capito? a:b (che io invito a scrivere come a/b) è esattamente a*1/b.

A scuola purtroppo a volte si imparano tante regole come se fossero tutti argomenti diversi e ogni regola va memorizzata e si applica solo in quell'ambito. Non è così!

Però tutto questo va digerito attraverso l'esperienza guidata e poi fare tanto esercizio, possibilmente guidato e supervisionato da qualcuno che sappia far "sentire" queste poche regole, che sappia aiutare a interiorizzarle. 

Ovviamente l'algebra non è tutto nella vita, né nella matematica, però nella scuola  dell'obbligo ricopre un ruolo importantissimo e comunque serve anche nelle altre parti della matematica e nelle sue applicazioni.