Analisi matematica 2 - operatori vettoriali: relazione Divergenza/Rotore di un campo F di R^3

La relazione tra divergenza e rotore è molto importante e rappresenta in molteplici campi della scienza un importante relazione. 

In queste ripetizioni di matematica ti voglio spiegare la relazione divergenza/ rotore quando è applicata a un campo F di R^3.

Ripetizioni matematica: divergenza

La divergenza di un campo vettoriale F=(F1, F2, F3) in R3 è definita come la somma delle derivate parziali di ogni componente del campo rispetto alle rispettive coordinate:

div(F) = ∇ · F = (∂Fx/∂x) + (∂Fy/∂y) + (∂Fz/∂z)

dove ∇ è l'operatore differenziale del gradiente e il punto centrale rappresenta l'operatore prodotto scalare tra il gradiente e il campo vettoriale F.

Ripetizioni matematica: rotore

Il rotore di un campo vettoriale F=(F1, F2, F3) in R3 è definito come il vettore:

rot(F) = ∇ x F = ( ∂F3/∂y - ∂F2/∂z, ∂F1/∂z - ∂F3/∂x, ∂F2/∂x - ∂F1/∂y )

dove ∇ è l'operatore differenziale del gradiente e la "x" indica l'operatore prodotto vettoriale tra il gradiente e il campo vettoriale F.

Insegnanti di matematica per università, liceo e scuole medie

Raffaele 1ª lezione gratis (10)10100

Paolo 1ª lezione gratis (14)10100

Divergenza di un rotore

La divergenza di un rotore di un campo vettoriale F in R3 è un concetto fondamentale della teoria del campo vettoriale. In particolare, la divergenza del rotore di F può essere espressa in termini dell'operatore laplaciano Δ, definito come la somma delle derivate parziali seconde rispetto a ciascuna coordinata spaziale:

Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²

La formula per la divergenza del rotore di F è data da:

div(rot(F)) = ∇ · ( ∇ x F ) = Δ(F1) + Δ(F2) + Δ(F3)

Importante applicazione: identità di Maxwell

L'identità di Maxwell, div(Rot(F)) = 0, è una relazione matematica tra la divergenza e il rotore di un campo vettoriale F definito nello spazio tridimensionale R^3.

Il rotore di un campo vettoriale F è definito come il vettore:

Rot(F) = (∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z, ∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x, ∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y)

dove F_x, F_y e F_z sono le componenti del campo vettoriale F.

La divergenza di un vettore è definita come:

div(F) = ∂F_x/∂x + ∂F_y/∂y + ∂F_z/∂z

Sostituendo il vettore Rot(F) nella formula per la divergenza, si ottiene:

div(Rot(F)) = ∂(∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z)/∂x + ∂(∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x)/∂y + ∂(∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y)/∂z

Se si calcolano le derivate seconde dei componenti di F rispetto alle tre variabili indipendenti x, y e z, si scopre che le derivate seconde miste si compensano, e quindi l'identità di Maxwell si verifica:

div(Rot(F)) = 0

Questa identità di Maxwell è importante perché stabilisce una relazione tra le proprietà locali di un campo vettoriale, rappresentate dal rotore e dalla divergenza, senza richiedere informazioni globali sul campo stesso. Questa identità ha importanti applicazioni nella teoria del campo elettromagnetico, dove consente di dedurre importanti proprietà del campo elettromagnetico senza dover risolvere le equazioni del campo direttamente.