Come risolvere le equazioni di terzo grado?

Scopri come affrontare le equazioni di terzo grado nelle lezioni di matematica. Sfrutta questi consigli e approfondimenti per migliorare le tue competenze nel risolvere equazioni di terzo grado con sicurezza e precisione.

Insegnanti di matematica

Intanto prendiamo un'equazione generica:

ax^3+bx^2+cx+d = 0

Se siamo fortunati e abbiamo il termine noto nullo (d = 0) allora abbiamo il caso semplice :

ax^3+bx^2+cx = 0

In questo caso possiamo raccogliere la x e ci ritroviamo:

x (ax^2+bx+c) = 0

Quindi la prima soluzione sarà data da x = 0, mentre le altre due soluzioni saranno date dall'equazione di secondo grado:

ax^2+bx+c = 0

Se invece siamo nel caso che d non sia =0 allora useremo la regola di Ruffini. Per spiegarla ricorrerò ad un esempio. Prendiamo l'equazione:

x^3+2x-3 = 0

Quindi avremo a=1, b=0, c=2, d=-3 (sono importanti da tenere a mente). Il nostro obiettivo è di scomporre il nostro polinomio in un prodotto della forma:

(x+β)(x^2+ρx+α)=0 

dove β ρ α sono numeri. Per arrivare a ciò ti spiego step by step come arrivarci:

1. Trova i divisori del termine noto. In questo caso abbiamo d = -3, quindi sappiamo che questo termine può essere diviso per i numeri interi +1,-1,+3,-3 senza resto (da badare che sono importanti anche i divisori con il segno negativo)
2. Sostituire i divisori nell'equazione e trovare un divisore che risolva l'equazione. Nell'esempio se sostituiamo x=1, abbiamo che l'equazione è valida, quindi abbiamo trovato una soluzione! Se sostituiamo la x per tutti i divisori e non troviamo un valore che risolva l'equazione vuol dire che l'equazione NON si può risolvere.
3. Costruiamo la tabella di Ruffini sappiamo adesso il termine β dell'equazione che vogliamo (-1 perché è la radice del polinomio cambiata di segno). Adesso troviamo i coefficienti ρ e α completando la tabella:

In questo modo abbiamo che i coefficienti sono ρ=1 e α=3 (gli ultimi coefficienti in basso a destra escludendo il resto). Quindi abbiamo trovato un modo per scomporre la nostra complicata equazione di terzo grado in un'equazione della forma:

(x-1)(x^2+x-3)=0

Adesso possiamo continuare a risolvere la nostra equazione avente soluzione x=1 e le soluzioni del polinomio di secondo grado!

N.B. La regola di Ruffini può essere usata anche per equazioni di grado superiore al terzo.