Come si calcola il prodotto scalare di due vettori?

Per svolgere il prodotto scalare (in inglese "dot product") di due vettori nelle lezioni di matematica, basterà moltiplicare i termini con lo stesso indice tra loro e sommare i prodotti ottenuti. Niente paura: è più facile farlo che dirlo!

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Guardiamo un esempio in dimensione 2:

u = (1, 3)    ;     v = (2, 5) 

Il prodotto scalare di questi due vettori si calcola facendo

u · v = (1·2) + (3·5) = 2 + 15 = 17

Come puoi vedere, abbiamo moltiplicato tra loro i "primi" termini dei due vettori e poi abbiamo fatto lo stesso con i "secondi". Infine, abbiamo sommato i prodotti arrivando al risultato finale.

Vediamo un ultimo esempio per essere sicuri di avere capito, in dimensione 3 stavolta:

a = (2, 4, 3) b = (3, 5, 1)

a · b = (2·3) + (4·5) + (3·1) = 6 + 20 + 3 = 29

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Ti prego ora di notare alcune considerazioni un po' più "teoriche" di quest'importante operazione tra vettori:

1. Il prodotto scalare è un'operazione che prende in imput due vettori e dà in output un numero reale. Non si può quindi utilizzarce con più di due vettori per volta e non va confuso con la moltiplicazione "scalare per vettore".
2. Il prodotto scalare è fondamentale in fisica per la definizione e il calcolo di diverse grandezze. Il lavoro (W), per esempio, non è che il prodotto scalare tra il vettore forza (F) e il vettore spostamento (s). Tuttavia, nei problemi, spesso non serve utilizzare le regole del prodotto scalare e basta rifarsi alla "semplificazione" che trasforma la formula in W = F · s · cos θ     con θ angolo compreso tra i due vettori F ed s.

Capito? Se ti va di provare a calcolare il prodotto scalare di due vettori eccoti un esempio da svolgere:

c = (1, 2, 3)    d = (4, 5, 6)

[Il risultato è 32]