Come sapere quali asintoti ha una funzione?

Lo studio di una funzione consta di una serie di passaggi (che elencherò di seguito) che permettono di analizzare come si comporta la funzione e poterla graficare su di un piano cartesiano. Il grafico che possiamo disegnare è un grafico probabile in quanto per poter disegnare quello effettivo si necessita di conoscere un numero infinito di punti che appartengono alla funzione; ma questo non è certo possibile.

Lo studio di una funzione è costituito dai seguenti passaggi:

1) Ricerca del dominio (campo di esistenza): identificare per quali valori dell'ascissa la funzione è definita.

Bisogna porre tutti i denominatori della funzione diversi da zero poiché non è matematicamente possibile dividere qualcosa in zero parti, successivamente qualsiasi argomento dei logaritmi maggiore di 0 (>0) in quanto la funzione log è definita solo per valori della x positivi ed infine qualsiasi valore sotto una radice pari va posto maggiore o uguale a 0 (>=0). Tutte queste condizioni vanno poste a sistema ed il risultato corrisponde al dominio della nostra funzione.

2) Studio del segno: mi permette di capire per quali intervalli la funzione è negativa o positiva.

Lo studio del segno si esegue ponendo la nostra funzione positiva  (f(x) > 0) e poi si studia la disequazione che si genera vedendo in quali intervalli la disequazione è verificata ( la funzione è positiva) ed in quali non è verificata (quindi la funzione è negativa).

3) Ricerca dell'intersezione con gli assi x,y

Semplicemente si pone x = 0 e si mette a sistema con f(x) trovando in questo modo l’intersezione con l’asse y, e successivamente si pone y=0 trovando l’intersezione con l’ascissa. Naturalmente se non esistono soluzioni vuol dire che la funzione non interseca gli assi cartesiani.

4) Determinazione degli asintoti della funzione, se esistono.

Un asintoto è una retta del piano alla quale si avvicina ma senza mai raggiungerla la funzione in esame. Essendo una retta l'asintoto può essere una retta orizzontale, verticale oppure obliqua.

Assumendo che la nostra funzione sia f=f(x) allora per trovare gli asintoti dobbiamo sfruttare la teoria del calcolo dei limiti:

- Se il limite per x tendente a "+" o "- " infinito della funzione ha un valore finito m, allora esiste l'asintoto orizzontale di equazione y = m;

-Se il limite per x tendente ad un valore finito x_0 di nostro interesse (di solito valori di x particolari del dominio) vale "+" o "-" infinito allora esiste un asintoto verticale la cui equazione è x = x_0.

- Asintoto obliquo: lim_x->inf [mx + q - f(x)] = 0 allora y = mx + q sarà l'equazione dell'asintoto.

Nota Bene: se la funzione ha l'asintoto orizzontale, allora non può avere l'asintoto obliquo e se la funzione non ha l'asintoto orizzontale, allora potrebbe avere, ma non è detto, l'asintoto obliquo.

5) Ricerca dei massimi e dei minimi mediante lo studio della derivata prima della funzione.

Si deriva la funzione f(x) e poi la derivata si pone uguale a 0 (f’(x) = 0); i valori per cui si annulla sono punti di equilibrio (di massimo o di minimo)

6) Ricerca dei flessi mediante lo studio della derivata seconda.