La distribuzione binomiale. Teoria ed esempi.

La distribuzione binomiale è una tipologia di distribuzione statistica ampliamente utilizzata in molti problemi applicativi di carattere economico-aziendale, che coinvolgono variabili discrete.

Consideriamo innanzitutto il modello di Bernoulli, che è alla base della distribuzione binomiale. Prendiamo un esperimento casuale che può presentare due soli risultati (mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi) che chiamiamo per convenzione "successo" e "insuccesso". Sia:

p = probabilità di successo

(1-p) = probabilità di insuccesso

X = variabile aleatoria che assume il valore 1 quando il risultato dell'esperimento è il "successo" e il valore 0 in caso contrario

La funzione di probabilità di tale variabile aleatoria sarà:

P(0) = (1-p)  e  P(1) = p

Tale distribuzione è nota come distribuzione di Bernoulli.

ESEMPIO:

Un assicuratore ipotizza che, per una certa polizza, la probabilità di una sottoscrizione al primo contatto sia 0.4. Se la variabile aleatoria X assume il valore 1 in caso di sottoscrizione e 0 in caso contrario, si tratta di una variabile bernoulliana, con probabilità di successo p=0.4. La funzione di probabilità di X è P(0)=0.6 e P(1)=0.4.

Una generalizzazione di tale modello riguarda il caso in cui un esperimento (sempre con due soli risultati possibili, "successo" e "insuccesso") viene ripetuto più volte e le prove sono tra di loro indipendenti (non si influenzano). In tal caso, si possono determinare le probabilità usando il modello binomiale. Supponiamo che: 

p = probabilità di successo nel singolo esperimento

(1-p) = probabilità di insuccesso nel singolo esperimento

n = nr di prove indipendenti tra loro

Il numero dei successi (X) risultanti da queste n prove sarà rappresentato da un numero intero da 0 a n. Ma come si determina la probabilità di ottenere esattamente x successi in queste n prove (indipendentemente dall'ordine dei risultati) ?

Osserviamo che le n prove produrranno una sequenza di n risultati, ognuno dei quali sarà un successo (S) o un insuccesso (I). Dunque avremo possibili sequenze con x successi e (n-x) insuccessi. Poiché le n prove sono indipendenti, la probabilità di una determinata sequenza di risultati è, con la regola moltiplicativa delle probabilità, uguale al prodotto delle probabilità dei singoli risultati. 

Da qui deriva che la distribuzione del numero di successi X (definita appunto distribuzione binomiale) avrà, in corrispondenza a ogni valore di x, funzione di probabilità:

P(x successi in n prove indipendenti) = P(x) = n!/[x!(n-x)!] p^x (1-p)^(n-x)

per x= 0,1,2,..,n; 0<p<1

ESEMPIO:

Un assicuratore ha cinque polizze e ipotizza che, per ciascuna di esse, la probabilità di sottoscrizione al primo contatto sia 0.40. Si vuole, ad esempio, calcolare la probabilità che riesca a far sottoscrivere al massimo una polizza.

Tale probabilità sarà data dalla seguente formula:

P(al massimo una polizza) = P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1) = 0.078+0.259=0.337

poiché

P (nessuna polizza) = P(O) = 5!/[0!5!] (0.4)^0 (0.6)^5 = 0.078

P(una polizza) = P(1) = 5!/[1!4!] (0.4)^1 (0.6)^4 = 0.259