Limite di funzione e limite di Successione parametrico svolto ( Mat. Analisi 1).

Esercizio 1 : LIMITE DI FUNZIONE in x mediamente COMPLESSO.

Testo : Calcolare il limite della funzione per x che tende a 0.

Nel primo passaggio e nel secondo ho sfruttato le equivalenze di Taylor ( o polinomi) per togliere gli zeri dati dall'infinito al numeratore e al denominatore delle microfunzioni ( logaritmo, seno, seno iperbolico)

Ho poi riscritto l'equivalenza asintotica del numeratore in termini di Taylor sommando e semplificando.

Nel 4 e nel 5 passaggio ho eseguito il medesimo ragionamento prestando anche attenzione ai segni -  presenti nel limite e scrivendo poi l'equivalenza asintotica del denominatore in termini di Taylor.

Nel passaggio finale si riscrivono pari pari le equivalenze di numeratore e denominatore riprendendo il limite originale e semplificando le potenze dello stesso ordine ottengo il risultato del limite, ( nel caso in esame lim (An) = 5).

NB E' importante notare che nel passaggio finale devono necessariamente elidersi le potenze dello stesso ordine altrimenti potremmo aver commesso qualche errore.

Questa affermazione è valida circa nel 98 % dei casi. Pochissimi limiti con questo tipo di risoluzione ammettono risultati come ∞ oppure 0.

Esercizio tratto da un tema d'esame di Analisi 1 alla Facoltà di Ingegneria Meccanica di Brescia.

Esercizio 2 :

Uno studente al primo anno di Ingegneria che viene a ripetizioni da qualche mese ha chiesto di svolgere questo limite di successione con parametro mediamente complesso.

Testo:

Sia α ∈ R. Al variare del parametro calcolare il limite della successione:

Nel primo passaggio ho sfruttato le equivalenze di Taylor ( o polinomi) per togliere gli zeri dati dall'infinito al denominatore delle frazioni, sia per il seno che per l'esponenziale.

Nel secondo passaggio ho riscritto il limite apportando le dovute sostituzioni e ho fatto una razionalizzazione della seconda parentesi, in modo da togliere le radici al numeratore e semplificare poi quelle nuove al denominatore.

Nel terzo passaggio ho semplificato ove possibile al numeratore e al denominatore abbiamo sommato le radici osservando che il termine (e^(1/n^7)) tende a 1.

Nel 4 e nel 5 passaggio ho riscritto il limite compattando i termini e semplificando la scrittura della doppia frazione fino ad ottenere il termine (n+1)^α al numeratore e il 2n^8 al denominatore.

Cosi facendo è molto semplice capire i valori per cui il parametro α influenza l'andamento del limite.

Esercizio tratto da un tema d'esame di Analisi 1 alla Facoltà di Ingegneria Meccanica di Brescia.