Come sapere quali asintoti ha una funzione?

Nell'analisi grafica di una funzione f(x) in matematica, uno dei punti principali è capire se una funzione possiede degli asintoti o meno. Le funzioni possono avere 3 diversi tipi di asintoti:

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1. Asintoto verticale: ho un asintoto verticale quando il limite per x che tende a un valore finito è uguale a + o - infinito. Prendiamo ad esempio la funzione f(x)=1/(x-2). La funzione ha un asintoto verticale per x=2 perché se facciamo il limite della funzione per x-->2 avremo che la funzione tende a infinito. Quindi diremo che f(x) ha asintoto verticale per x=2.

2. Asintoto orizzontale: a differenza dell'asintoto verticale, troviamo asintoti orizzontali quando il limite di x che tende a + o - infinito è uguale a un numero finito. Ad esempio prendiamo in esame f(x)= (2x^2-3)/(x^2+4x-3). La funzione ha un asintoto orizzontale perché quando facciamo il limite per x che tende a infinito, troviamo un valore costante, cioè 2. Quindi diremo che f(x) ha asintoto orizzontale per y=2.
3. Asintoto obliquo: l'asintoto obliquo è quello più lungo da calcolare perché si divide in due step, in considerazione del fatto che la funzione, all'infinito, si comporta come una retta appunto obliqua della forma y = mx+q. Quindi non ci resta che calcolare i coefficienti m e q:

1. Calcolo di m: per calcolare il coefficiente m occorre fare il limite per x che tende a infinito (+ o -) di f(x)/x e deve essere uguale a un valore finito diverso da 0.
2. Calcolo di q: per calcolare q bisogna in questo caso fare il limite per x che tende a infinito (scegliere il segno del limite fatto in precedenza) di f(x)-mx e anche qui bisogna avere un valore finito, ma può essere uguale a 0. Se invece tende a infinito allora non esiste l'asintoto obliquo.

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Facciamo un esempio di asintoto obliquo: supponiamo di avere f(x) = (x^2+2)/x e vogliamo calcolarci il suo asintoto obliquo. Calcoliamo m e troviamo che m = 1 seguendo i passaggi di prima. Per quando riguarda q avremo che q = 2. Quindi esprimiamo il nostro asintoto obliquo come: y = x + 2.

N.B. se per x che tende a + infinito abbiamo un asintoto orizzontale, la funzione NON può avere un asintoto obliquo per x che tende a + infinito, mentre può averlo per x che tende a - infinito!