Cosa sono i limiti di una funzione, le proprietà e il loro utilizzo in matematica pura

In matematica, il limite di una funzione, spiegato dalla definizione è: in un punto di accumulazione ( a livello intuitivo il punto di accumulazione significa che arbitrariamente vicino a {\displaystyle x_{0}} ovvero il punto a cui la funzione tende ci sono sempre punti di A) per il suo dominio ( il dominio è l'insieme di valori che rende reale la funzione di riferimento) esprime la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a quel punto. Indicando con {\displaystyle f(x)} la funzione e con {\displaystyle x_{0}} il punto di accumulazione.

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I limiti ci permettono di studiare il comportamento di un a funzione e il suo andamento nel piano cartesiano delle ascisse e ordinate in modo da poter rappresentare la funzione sul piano stesso.In generale, possiamo definire il limite di una funzione come il valore che la funzione si avvicina sempre di più man mano che l'input si avvicina a un certo valore. Formalmente, diciamo che il limite di una funzione f(x) per x che tende a un certo valore a è L se per ogni numero positivo ε, esiste un numero positivo δ tale che se 0 < |x-a| < δ allora |f(x) - L| < ε. 

In termini più semplici, possiamo dire che il limite di una funzione rappresenta il valore verso cui la funzione tende quando l'input si avvicina sempre più a un certo punto. Se la funzione non ha un limite in un punto, diremo che la funzione è discontinua in quel punto.

Il limite di una funzione può tendere a x0 quindi ad un punto qualsiasi che può essere un punto di intersezione con l'asse delle ascisse o delle ordinate o un qualunque altro punto della funzione presa in considerazione.

Il campo di applicazione dei limiti  è variegato e vasto. In matematica pura, nelle funzioni reali a due o più variabili, è utile per trovare gli asintoti (rette a cui la funzione tende senza intersecarsi mai) che possono essere di tre tipi: verticali, orizzontali e obliqui. Grazie ai limiti possiamo conoscere gli asintoti. 

  • Ad esempio per trovare l'asintoto verticale basta fare i limite per x che tende a x0 ( punto di intersezione della funzione con l'asse delle x, nel caso ci siano più punti si dovrà applicare il limite a tutti i punti di intersezione contestualmente uno alla volta), e se si otterrà come risulatato  {\displaystyle +\infty }allora esiste un asintoto verticale su quel determinato punto di intersezione che abbiamo preso per fare il limite.
  • Per gli asintoti orizzontali si dovrà fare il limite per x che tende a  {\displaystyle +\infty }. Se si otterrà un valore allora  si avrà un asontoto orizzontale.
  • Viceversa se non si otterrà un valore specifico allora bisognerà trovare un possibile asintoto obliquo.

Ha campi di applicazione negli spazi metrici e topologici oltre che nel teorema del confronto ed ad altre discipline. Il concetto di limite è fondamentale nel calcolo differenziale e integrale, e si utilizza per studiare il comportamento delle funzioni in punti particolari e per risolvere problemi di massimi e minimi. Oltre ad essere un concetto importante in matematica, il concetto di limite ha molte applicazioni pratiche in fisica, ingegneria e altre discipline scientifiche.

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