Cos’è la geometria analitica ed esercizi di esempio

Quando a scuola comincerai la Geometria Analitica, ti sembrerà molto più vicina, tra gli argomenti che hai già fatto, all'Algebra che alla Geometria. Infatti, finora tendevi a considerare geometria angoli, figure piane, solidi, ecc. insomma: la geometria euclidea. 

Da ora invece ti troverai ad analizzare l'affascinante mondo delle figure geometriche (per ora vedrai solo quelle piane) contestualizzate in un riferimento specifico (detto Piano Cartesiano) che permetterà di ottenere un sacco di informazioni e relazioni matematiche per lavorare su queste figure in modo efficace e, devo dire, persino divertente.

Leggenda vuole che a metà del 1600, il giovane Cartesio (Descartes, il suo nome vero, quello del "Cogito ergo sum!"), mentre era studente in seminario, passasse molte ore a letto malaticcio; un giorno cominciò a seguire gli spostamenti di una mosca sul soffitto e ideò il modo di indicare univocamente la posizione dell'insetto mediante una coppia di numeri, cioè la distanza da due delle pareti: in pratica aveva "inventato" il concetto di "coordinate". Sì, le stesse del GPS o di GoogleMaps... o del gioco della battagia navale: hai presente, no? Per indicare un punto dello schema (piano) tu dici due coordinate e il tuo compagno di gioco rileva, da quei due numeri, una posizione esatta (e non eqivocabile), e ti risponde se lì - esattamente lì - è presente una sua nave oppure c'è acqua...

Insomma, non che Cartesio giocasse a battaglia navale, ma ha ideato questo sistema di “assi cartesiani” (che si incontrano a croce perpendicolarmente in un punto detto "origine" e formano così 4 quadranti), creando così uno stretto legame tra algebra e geometria.

Ora ti faccio ragionare su una questione fontamentale: finora ti facevano lavorare nel campo dei numeri reali R e quindi se dovevi confrontare 3 con 5, potevi collocarli sulla retta ordinata dei numeri reali e dire che "5 è più a destra di 3".

Ora, nel sistema cartesiano, stai muovendoti non lungo una retta R ma sul piano R 2   quindi ad un punto non corrisponde più un solo valore, ma una coppia di valori, come in figura:

Come ti dicevo, è esattamente come per la battaglia navale! Dove, la prima coordinata è sempre la distanza dall'origine lungo l'asse orizzontale (ascisse, asse delle x) mentre la seconda esprime la distanza lungo la direzione verticale (asse delle y, o delle ordinate).

Facciamo qualche esempio: 

Attenzione! P(2,4) e Q(4,2) sono punti diversi: riesci a disegnarli? Bene, da ora in poi fai attenzione a non confondere l'ordine delle due coordinate, che, come vedi, danno origine a punti decisamente diversi.

Ovviamente potremmo estendere la stessa idea alla terza dimensione, ma questo lo vedrai tra qualche anno :-) intanto guarda la figura:

A questo punto, sapresti rappresentare in un piano cartesiano i punti di coordinate: 

A(-4,-2)      B(-2, 1)      C(5, -3)      D(-3, 5)      E(-3,-5)     O(0, 0)    ?

In quale quadrante hai disegnato ognuno di essi?

Per ciascuno, disegna il punto simmetrico rispetto all'asse verticale (cioè, fai finta che l'asse verticale sia uno specchio: dove disegneresti il simmetrico di A?) Che coordinate hanno i simmetrici? vedi una correlazione tra le coordinate del punto di partenza e quelle del suo simmetrico?

Eh sì, hai proprio visto giusto: il simmetrico mantiene inalterata la seconda coordinata e ha invece come prima coordinata l'opposto dela valore della prima coordinata del punto di partenza (in pratica: stesso numero, ma segno opposto). Ad es. A(-4,-2) ---> simmetrico: A'(4,-2)

A questo punto riesci in fretta a capire cosa succede se di un punto ti chiedessi le coordinate del suo simmetrico rispetto all'asse delle x, vero? ;-) 

Esatto! Ad es. A(-4,-2) ---> simmetrico: A''(-4,2)

Beh... adesso si tratta di impratichirsi un po' prima di passare a qualcosa di più difficile...

Buon lavoro!