3 esercizi di matematica per le medie: gli argomenti principali

Gli studenti delle scuole medie cominciano ad avere un primo e significativo approccio allo studio della matematica. In effetti, proprio la scuola media rappresenta un tramite tra le scuole elementari dove vengono insegnate le nozioni basilari della materia e le scuole superiori, le quali a seconda dell'indirizzo permettono di approfondire la matematica nei suoi aspetti più importanti.

Ecco quindi alcuni degli argomenti principali che vengono trattati dagli insegnanti delle scuole medie nei vari anni di studio. 

Prima media: è qui che vengono date le nozioni di frazioni, quindi di numeri decimali. Lo studio degli insiemi naturali e razionali rappresenta l'argomento principale. Si studiano le varie operazioni tra numeri decimali, le proprietà delle potenze e quelle delle radici. Non solo, in prima media vengono affrontati gli argomenti di massimo comune divisore (MCD) e minimo comune multiplo (mcm), che serviranno per poter svolgere ad esempio l'operazione di addizione tra frazioni.

Seconda media: si cominciano a studiare le prime espressioni, comprendenti le principali operazioni tra frazioni e numeri interi. Questo solo dopo aver fatto uno studio approfondito sull'insieme dei numeri relativi (il cosiddetto insieme Z) e aver ripassato le principali proprietà di frazioni, radici, potenze. Si introducono i monomi e si svolgono le prime espressioni con essi. In alcune scuole viene anche dato un piccolo spazio alla probabilità e alla proporzionalità

Terza media: in vista dell'esame finale si introducono argomenti più complessi quali le equazioni di primo grado, i polinomi e le espressioni tra polinomi. Si affrontano problemi di geometria su triangoli, lo studio del teorema di Pitagora, lo studio delle rette. Per la parte di statistica, si fa invece riferimento allo studio di istogrammi e vengono date le nozioni di media, mediana e moda.

Ed ora vediamo quali sono alcuni semplici esercizi di matematica facenti riferimento ad alcuni di questi argomenti:

Esercizio 1: il massimo comune divisore

Proviamo a calcolare il massimo comune divisore o MCD tra 100 e 45. La prima cosa da fare è scomporre in fattori primi i due numeri:

100=2^2 x 5^2 

45= 5 x 3^2 

Bene, adesso si scelgono i fattori secondo la regola di prendere quelli comuni una sola volta (presi con il minore esponente): l'unico fattore comune ad entrambi è il 5, prendiamo quello con il minore esponente, cioè proprio il 5 derivante dalla scomposizione di 45 (anzichè 5^2 derivante dalla scomposizione di 100). Questo vuol dire che il MCD tra 100 e 45 è 5. Se avessimo avuto altri fattori, la regola prevedeva di fare la moltiplicazione tra di essi.

Esercizio 2: espressioni con i monomi

Sono delle espressioni in cui viene richiesto di semplificare i monomi presentati.

Ad esempio può essere richiesta la divisione tra i seguenti monomi:

(0.2 x^3 y^2 z^4 ) : (0.5 x y^2 z)

Quello che va fatto innanzitutto è la divisione tra la parte numerica. Esprimiamo i numeri decimali come frazioni e poi procediamo facendo la divisione:

0.2=2/10 mentre 0.5=5/10

2/10 : 5/10 = 2/10 x 10/5 =2/5 =0.4

Nota che nel secondo passaggio è stato invertito il numeratore della seconda frazione con il suo denominatore e la divisione è diventata moltiplicazione.

Adesso procediamo alla divisione della parte letterale: x^3:x= x^2,

y^2:y^2= y^0=1 

z^4:z= z^3

Quindi il risultato sarà: 0.4 x^2 z^3

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Esercizio 3: equazioni di primo grado

10-8+5x = -4x +1

Bene, quello che ci dicono i libri di scuola è di utilizzare il primo e il secondo principio di equivalenza per arrivare al risultato dell'equazione. Dobbiamo infatti trovare il valore della nostra incognita, la x, che se sostituito proprio al posto della x ci fornisce un'uguaglianza (ovvero ciò che si trova a sinistra dell'uguale ha lo stesso valore di ciò che si trova a destra).

Proviamo innanzitutto ad usare il primo principio per ottenere la sola x a sinistra dell'uguale e la parte numerica a destra di esso.

Ciò che facciamo è sommare da entrambi le parti +4x per togliere le x nella parte destra dell'uguale:

10-8+5x +4x= -4x +1 +4x  che diventa 10-8+5x+4x=+1 ed eseguendo le somme diventa:

2+9x=+1 

A questo punto applichiamo ancora il primo principio sommando -2 a entrambi i membri per lasciare sola la x a sinistra:

2+9x-2=+1-2

9x=-1 

Ed infine usiamo il secondo principio, dividendo da entrambi i membri per 9:

9x:9=-1:9

x=-1/9, che è la soluzione.

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