Esercizio svolto sugli urti elastici tra due corpi in una sola dimensione

Questo esercizio è un classico esempio di come si presentano i problemi di fisica che riguardano gli urti elastici. Studiarlo e capirlo significa aver compreso come risolvere la quasi totalità degli esercizi su questo tipo di urti.

Ci occuperemo in questo caso di un urto unidimensionale, in cui non dobbiamo preoccuparci di angoli o assi diversi dall’asse x, perché tutto avviene su un singolo piano che sarà per noi quello orizzontale.

Risolviamo un problema di fisica sugli urti elastici

ESERCIZIO

Un corpo di 3 Kg che si muove con una velocità di 4 m/s compie un urto elastico con un corpo fermo di 2 Kg. Determina la velocità di ciascun corpo dopo l’urto.

Ci troviamo in una situazione in cui un corpo più pesante in movimento va ad urtare su un corpo più leggero che invece è fermo, mettendolo in movimento. Ci vengono fatte due richieste, ovvero le velocità dei due corpi dopo che questo urto ha modificato il loro moto. 

Prima di tutto identifichiamo i due corpi come 1 per il più pesante e 2 per il secondo e visualizziamo la situazione prima e dopo il contatto.

Cerchiamo ora di scrivere i dati del problema, indicando con il pedice in (iniziale) tutto ciò che avviene prima dell’urto, e con fin (finale) ciò che avviene dopo:

• m₁ = 3 Kg
• m₂ = 2 kg
• v_1,in = 4 m/s
• v_2,in = 0 m/s (il corpo è fermo)
• v_1,fin = ? 
• v_2,fin = ?

SVOLGIMENTO

Ci sono varie tipologie di urti classificati dai manuali di fisica, il più semplice (per quanto molto raro in natura) è quello degli urti elastici. La loro peculiarità è che in questo tipo di eventi ci sono due grandezze che si conservano:

• L’energia cinetica 
• La quantità di moto (o momento)

Queste grandezze si conservano, il che significa che sia la quantità di moto che l’energia cinetica hanno, in totale, lo stesso valore se le calcoliamo prima e dopo l’urto. Nel nostro sistema vivono due corpi e quindi ognuna di queste misure conterrà il contributo del corpo 1 e del corpo 2.

L’energia cinetica viene definita come K = 1/2mv², e la quantità di moto è invece il prodotto tra la massa del corpo e la sua velocità e si può scrivere come q = mv.

Il problema ci fa due richieste  e possiamo, per risolverlo, utilizzare quindi queste due leggi di conservazione e applicarle al nostro caso. 

Avremo quindi:

Conservazione dell’energia cinetica

K prima dell’urto = K dopo l’urto

K prima dell’urto del corpo 1 +  K prima dell’urto del corpo 1 = K dopo l’urto del corpo 1 + K dopo l’urto del corpo 2

1/2mv_1,in² + 1/2mv_2,in² = 1/2mv_1,fin² + 1/2mv_2,fin²

Quest’ultima può essere semplificata perchè sappiamo che v2,in = 0:

1/2mv_1,in² = 1/2mv_1,fin² + 1/2mv_2,fin²  (1)

Conservazione del momento

q prima dell’urto = q dopo l’urto

q prima dell’urto del corpo 1 +  q prima dell’urto del corpo 1 = q dopo l’urto del corpo 1 + q dopo l’urto del corpo 2

mv_1,in + mv_2,in = mv_1,fin + mv_2,fin

Possiamo di nuovo semplificare per il corpo 2:

mv_1,in = mv_1,fin + _mv2,fin (2)

Da queste due equazioni possiamo ricavare le velocità finali.

Per prima cosa bisogna esplicitare una delle due velocità finali da un'equazione e inserirla nell’altra per trovare la seconda. Una delle due leggi di conservazione ha le velocità finali elevate alla seconda, quindi conviene esplicitare dalla conservazione della quantità di moto e poi sostituire in quella di K.

Dopo aver svolto tutti questi passaggi ci si ritrova con l’espressione esplicita sia di v_1,fin che di v_2,fin .

I conti sono abbastanza lunghi, ma la matematica non è complessa.

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Soluzione del problema sugli urti elastici tra due corpi in una sola dimensione

Sostituendo i dati iniziali nelle equazioni si trovano i seguenti risultati:

v_1,fin = 0.8 m/s

v_2,fin = 4.8 m/s

Complimenti se sei arrivato fin qui! 

Se hai dei dubbi o vuoi fare altri esercizi insieme, contattami pure! 

Giulia Tranquillini