Risolviamo un problema di fisica: esercizio svolto sui momenti delle forze

Esercizio svolto sui momenti delle forze: una scala appoggiata ad un muro e in equilibrio

In questo esercizio cerchiamo di risolvere passo per passo un problema di fisica che necessita l’utilizzo dei momenti delle forze e di capire come esse influenzano o meno il moto di un corpo.

Nel nostro esercizio il corpo da considerare è una scala appoggiata a un muro e si trova in equilibrio: ciò significa che le forze non hanno effetto di movimento, ma si distribuiscono in modo da mantenere l’assenza di rotazioni e traslazioni. Ora vedremo come utilizzare a nostro vantaggio queste informazioni.

Prima però, il testo dell’esercizio:

Testo del problema di fisica

Una scala a pioli di lunghezza l e massa m è appoggiata a un muro con il quale forma un angolo θ. La scala non subisce nessun attrito con la parete, mentre lo subisce con il pavimento, che ha coefficiente di attrito μ. Calcolare l’angolo θ minimo per avere equilibrio.

Come prima cosa cerchiamo di disegnare il nostro sistema, e le forze in gioco. Sappiamo che ci sarà una forza di attrito Fa tra la scala e il pavimento su cui è poggiata, e la forza peso Fp del corpo che punterà verso il basso. Inoltre saranno presenti le reazioni vincolari per i due vincoli che mantengono fermo il nostro oggetto: il pavimento avrà una reazione vincolare che definiremo con il termine F1, e il muro F2.

Svolgimento dell'esercizio

L’esercizio si basa sul fatto che la scala sia ferma. La richiesta che ci viene fatta (l’angolo minimo di equilibrio) è di individuare per θ quale la scala non scivola e cade sul pavimento.

In fisica una situazione di equilibrio si esprime con la condizione di avere la somma totale delle forze e dei momenti uguale a zero. Nel nostro esercizio andremo quindi a esprimere queste due condizioni con l’accortezza di suddividere le componenti orizzontali e verticali delle forze, essendo il piano su cui stiamo lavorando bidimensionale.

Le condizioni da imporre sono quindi:

• Forza totale su asse x = 0
• Forza totale su asse y = 0
• Somma totale dei momenti delle forze  = 0 

Andiamo allora a esplicitare queste tre condizioni, dalle quali speriamo di riuscire a individuare l’angolo richiesto.

Avendo tre condizioni e una sola richiesta, sappiamo che sicuramente riusciremo a risolvere il problema (il numero di variabili deve sempre essere minore o uguale al numero di condizioni da imporre se si vuole avere una soluzione definita).

I segni delle forze sono positivi quando esse sono nello stesso verso degli assi, e negativi se sono nel verso opposto. Inoltre la forza peso è uguale al prodotto tra massa e costante di gravità, mentre la forza di attrito è definita come coefficiente di attrito moltiplicato per la forza perpendicolare nel punto in cui agisce: nel nostro caso questa forza sarà la reazione vincolare F1.

In seguito a queste considerazioni possiamo riscrivere le prime due condizioni:

• F1 - mg = 0
• μF1 - F2 = 0

Manipolando queste due (vedi .pdf per i conti espliciti) arriviamo a dire che:

F2 = μmg

 Scarica il PDF dell'esercizio

La terza condizione è leggermente più complicata perché per ogni forza dobbiamo calcolare il suo momento. Esso si definisce come il prodotto tra la componente perpendicolare della forza in oggetto, e il braccio di questa forza, ovvero la distanza tra il centro di rotazione e il punto in cui la forza è applicata.

Nel nostro caso il centro di rotazione non è esplicito perché la scala è ferma, ma possiamo scegliere arbitrariamente di definirlo nel punto in cui la scala tocca terra. In questo modo sia la reazione vincolare F1, sia la forza di attrito avranno braccio nullo (e quindi momento nullo) perché si trovano proprio in quel punto.

Facendo attenzione a prendere le componenti perpendicolari delle forze con le funzioni trigonomentriche seno e coseno, la condizione sui momenti sarà:

• L F2 sinθ - l/2 m g cosθ = 0

(Nel pdf allegato trovi tutti i passaggi successivi.)

Per completare l’esercizio non rimane che sostituire in questa terza equazione la F2 trovata in precedenza ed esplicitare θ rispondendo alla richiesta.

Soluzione dell'esercizio

Θ = arctan(1/2μ)

Complimenti se sei arrivato fin qui! 

Se hai dei dubbi o vuoi fare altri esercizi insieme, contattami pure! 

Giulia Tranquillini