Matematica: cosa sono i radicali. Teoria, esempi, esercizi e soluzioni

Definizioni: cosa sono i radicali

Il simbolo di radice quadrata √ è utilizzato per rappresentare l'estrazione di una radice quadrata. Ad esempio, √16 = 4, poiché 4 × 4 = 16. Questo simbolo può anche essere utilizzato per rappresentare l'estrazione di radici di ordine superiore, come la radice cubica (∛) o la radice quadratica (√√).

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Il radicale viene spesso utilizzato per risolvere equazioni quadratiche, come ad esempio x² + 5x + 6 = 0. In questo caso, utilizziamo il metodo di estrazione dei radicali per trovare le soluzioni.

Per calcolare il valore di un radicale, è spesso necessario utilizzare le proprietà delle radici. La proprietà più comune è la proprietà dell'estrazione, che ci consente di moltiplicare i radicali tra loro. Ad esempio, √a × √b = √ab.

Esempi

Esempio 1: Calcolare il valore di √36.

Soluzione: Possiamo calcolare il valore di √36 utilizzando la proprietà dell'estrazione: √36 = √(6 × 6) = 6.

Esempio 2: Risolvere l'equazione x² + 4x + 4 = 0.

Soluzione: In questo caso, possiamo utilizzare il metodo di estrazione dei radicali per trovare le soluzioni. Possiamo iniziare calcolando il discriminante: b² - 4ac = 4² - 4 × 1 × 4 = 0. Poiché il discriminante è uguale a zero, l'equazione ha una soluzione doppia: x = -b/2a = -4/2 = -2.

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Esercizi per ripetizioni di matematica sui radicali

Esercizio 1

Calcolare il valore di √(8/2).

Soluzione: Possiamo semplificare l'espressione 8/2 in 4 e quindi calcolare il valore del radicale: √4 = 2.

Esercizio 2

Risolvere l'equazione x² + 6x + 9 = 0.

Soluzione: In questo caso, possiamo notare che l'equazione è già scritta nella forma di un quadrato perfetto: (x + 3)² = 0. Possiamo quindi risolvere l'equazione trovando la radice quadrata di entrambi i lati: x + 3 = 0, quindi x = -3.

Esercizio 3

Semplificare l'espressione √(a³b²) × (√^(3))(a²b³).

Soluzione: Possiamo utilizzare la proprietà dell'estrazione per moltiplicare i radicali: √(a³b²) × (√^(3))(a²b³) = √(a³) × (√^(3))(b²b³) = a^(3/2) × b^(5/6).

Esercizio 4

Risolvere l'equazione √(2x + 1) = 3.

Soluzione: Possiamo iniziare elevando entrambi i lati all'esponente quadrato per eliminare il radicale: (√(2x + 1))^2 = 3^2. Ciò ci porta a 2x + 1 = 9. Possiamo quindi risolvere l'equazione per x: 2x = 8, quindi x = 4.

Esercizio 5

Semplificare l'espressione √(a^2 + 2ab + b^2) - √(a^2 - 2ab + b^2).

Soluzione: Possiamo notare che le due radici hanno la stessa forma di un quadrato perfetto: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 e a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2.

Possiamo quindi semplificare l'espressione: √(a^2 + 2ab + b^2) - √(a^2 - 2ab + b^2) = (a + b) - (a - b) = 2b.