Quali sono le differenze fra la fisica matematica e la fisica teorica?

Introduzione: tra fisica e matematica

Essendo io stesso un fisico con un dottorato in matematica - con particolare enfasi sulla fisica matematica - non mi potevo esimere dal provare a rispondere alla domanda posta nel titolo. Inoltre, coglierò la scrittura di questo breve intervento come un' occasione per riflettere sul mio percoroso di studi e sulla mia formazione. Cercherò pertanto di essere quanto più oggettivo possibile, ma al contempo spero mi si perdonerà l'esposizione di opinioni e impressioni personali, le quali inevitabilmente punteggieranno la stesura di questo articolo.

Il rapporto tra Fisica è Matematica è antichissimo e profondo. Per gli studiosi di un tempo non sempre esisteva una differenza netta tra le due discipline: è con l'affermarsi del metodo scientifico sperimentale che le due materie iniziano a divergere divenendo discipline diverse.

La Fisica diviene una scienza eminentente sperimentale che fa uso del linguaggio matematico per analizzare ed organizzare l'evidenza empirica strutturandola e sistematizzandola in leggi e teorie generali; d'altro canto la Matematica si caratterizza invece come un potente strumento di pensiero astratto che permette di studiare in maniera rigorosa e logica le relazioni tra quantità, forme e costruzioni algebriche.

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Nonostante la continua e costante ramificazione che scandisce lo sviluppo di queste due discipline, Fisica e Matematica continuano a contaminarsi a vicenda, tanto che i risultati in una disciplina motivano studi e risultati nell'altra. Produrre una cronologia precisa di questa catena intrecciata di contaminazioni e contro-contaminazioni sarebbe materia di un intero volume (o forse persino più volumi), ma basti pensare che:

• Newton e Leibnitz sviluppano i metodi del Calcolo (Derivazione, Integrazione, Equazioni Differenziali, Serie Infinite, etc.) nel tentativo di risolvere problemi di Meccanica Classica;
• Il Calcolo Variazionale è stato applicato con successo alla Meccanica di Newton ed Euler, portando a formulazioni avanzate di quest'ultima quali la Meccanica Lagrangiana e la Meccanica Hamiltoniana, a loro volta questi studi hanno portato alla scoperta e allo sviluppo di strutture geometriche peculiari quali le varietà simplettiche;
• La formulazione della Relatività Generale di Einstein in termini di Varietà Differenziali e Tensori è direttamente influenzata dal Calcolo Tensoriale (denominato ai tempi Calcolo Differenziale Assoluto) sviluppato nei decenni precedenti, tra gli altri, dal matematico italiano Levi-Civita;
• Molti sviluppi in Algebra Matriciale e Analisi Funzionale sono dovuti all'applicazione di queste materie ai problemi della Meccanica Quantistica e della Teoria dei Campi Quantistici.

Fermiamo qui questo elenco per evitare di tediare troppo chi ci legge, ma si capisce bene come esso potrebbe essere facilmente esteso fino a riempire gli scaffali di una grande libreria tra libri, trattati scientifici e paper vari. 

Fisica Matematica: Matematici che si occupano di Fisica o Fisici che fanno Matematica?

In Fisica Matematica gli studi sono motivati dall'uso di strumenti matematici avanzati e di metodi analitici rigorosi per la risoluzione nuovi problemi fisici o per lo studio, portato avanti con strumenti e interpretazioni nuove, di problematiche già note. E' importante sottolineare che in Fisica Matematica l'enfasi è posta sul rigore matematico. Pertanto chi opera nella Fisica Matematica può aspettarsi di lavorare nell'ambito di teorie consolidate e di principi fisici ben sedimentati, ma utilizzando strumenti e tecniche matematiche estremamente avanzate e innovative.

Infatti, si può dire che la Fisica Matematica è effettivamente una branca della Matematica che si occupa dell'elaborazione e dell'applicazione di metodi e modelli matematici a problemi provenienti dalle scienze fisiche. Nell'organizzazione accademica italiana questa appartenenza si riflette nel fatto che sono i dipartimenti di matematica ad ospitare al loro interno i fisici matematici.

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Questa breve descrizione ci indurrebbe a pensare che la Fisica Matematica non sia null'altro che una delle possibili designazioni per indicare la Matematica Applicata. Certamente le due discipline hanno una intersezione non nulla nel campo delle applicazioni e condividono un grande numero di metodi e modelli di base, ma in Matematica Applicata si tende a trattare problemi provenienti da questioni sviluppate in ambito Ingegneristico, Attuariale, Statistico, Economico, Bio-Medico etc; mentre in Fisica Matematica gli studi hanno tutti una radice comune nei problemi della Fisica. 

Solitamente, il primo incontro che si fa con la Fisica Matematica avviene con lo studio della Meccanica Analitica - o Meccanica Razionale nei corsi di Matematica e Ingegneria. Questa disciplina si può pensare come la rielaborazione dei principi fondamentali della Meccanica reinterpretati e generalizzati attraverso la lente fornita da concetti matematici avanzati quali il Calcolo Variazionale e la Geometria Differenziale. Così per la prima volta si viene a contatto con una formulazione della Meccanica che non fa più uso di vettori e diagrammi vari, ma di strutture analitiche, geometriche e algebriche che permettono la generalizzazione dei principi e dei metodi della Meccanica stessa.

Ad esempio, è questa interazione tra principi fisici e metodi matematici avanzati che porta alla formulazione della Meccanica Classica attraverso la Meccanica Hamiltoniana e successivamente questo stesso formalismo viene impiegato per costruire l'apparato matematico della Meccanica Quantistica. 

Un altro esempio della potenza dei metodi della Fisica Matematica è certamente rappresentato dal teorema di Noether, denominato così in onore della geniale matematica Emmy Noether che lavorò al suo sviluppo a partire dal 1915. Questo teorema spiega la connessione tra leggi di conservazione della Fisica e l'invarianza della Lagrangiana quando questa è soggetta a trasformazioni geometriche di vario tipo. Questo teorema riveste una importanza tale da fare ormai parte delle fondamenta stesse della Fisica.

Fisica Teorica: l'indagine teorica e la sua interazione con l'evidenza sperimentale.

In Fisica Teorica l'approccio metodologico è ovviamente differente rispetto alla controparte matematica. In questa disciplina ci si focalizza sulla costruzione e lo sviluppo di modelli teorici per descrivere e spiegare quantitativamente i fenomeni fisici osservati. A differenza della Fisica Matematica, la Fisica Teorica è quindi a tutti gli effetti una branca della Fisica.

Se in Fisica Matematica il metodo di ricerca impone una certa enfasi sul rigore logico-matematico, nella Fisica Teorica si è disposti a barattare un po' di rigore per una aderenza più stretta possibile con l'evidenza empirica e sperimentale. Perciò non è raro vedere in Fisica Teorica approssimazioni molto forti ma al contempo molto efficaci, e dei ragionamenti che, per quanto giustificabili su basi fisiche, spesso non presentano alcun tipo di rigore matematico. Pertanto in Fisica Teorica, lo studioso tenderà a usare con più disinvoltura metodi euristici e intuizione fisica invece che derivazioni formali e calcoli matematici espliciti.

A questo proposito mi piace ricordare quando studiavo per il mio esame di Teoria dei Campi Quantistici - una delle materie più importanti della Fisica Teorica. Uno dei metodi di calcolo più potenti in questa disciplina è dato dai cosiddetti Diagrammi di Feynman, elaborati appunto dal geniale fisico Richard Feynman. Per quanto questi strumenti di calcolo fossero la rappresentazione grafica di certi complicati integrali, questi stessi integrali di fatto non sono sempre ben definiti, né nel senso di Riemann né in quello di Lebesgue. Solo in tempi molto recenti la ricerca matematica sta finalmente fornendo un fondamento teorico-formale a questi oggetti. Questo che ho descritto non è un caso isolato nell'ambito della Fisica Teorica, ma anzi un vero e proprio metodo. Naturalmente i puristi del rigore matematico potrebbero trovarsi a storcere il naso assistendo alla scioltezza con cui il fisico teorico porta a termine certi calcoli, eppure questa disinvoltura risulta pienamente giustificata quando i calcoli sono in perfetto accordo con l'evidenza sperimentale - proprio come accade nel caso della Teoria dei Campi Quantistici e degli Integrali di Cammino dai quali derivano i Diagrammi di Feynman.

D'altronde la potenza dei metodi e dei modelli della Fisica Teorica trova un riscontro nei successi che questa disciplina ha accumulato nel tempo ad opera di molti valenti ricercatori. 

Un esempio che possiamo riportare è quello rappresentato dalla previsione - effettuata usando solo mezzi teorici - dell'esistenza del neutrino elettronico enunciata dal fisico Pauli. Questi, studiando i dati relativi al fenomeno del decadimento beta, si rese conto che la conservazione dell'energia, della quantità di moto e del momento angolare erano rispettate solo se si considerava un ulteriore prodotto di tale decadimento, nella forma di una particella di massa molto piccola e di carica nulla. Pauli mise per iscritto la sua predizione intorno al 1930, mentre l'esistenza del neutrino elettronico è stata verificata solo nel 1956.

Questo è solo un esempio della straordinaria efficacia dei mezzi della Fisica Teorica, e la storia di questa disciplina è costellata di casi in cui l'indagine teorica predice l'esistenza di un effetto o di una grandezza non ancora osservati, che spesso vengono scoperti sperimentalmente solo nei decenni successivi. Un altra istanza rilevantissima di questo processo è ad esempio quella relativa alla scoperta del Meccanismo di Higgs: descritto in via teorica in un paper il 1964, e sperimentalmente confermato solo nel 2012.

Conclusione: due discipline di grande fascino

In questo breve articolo abbiamo cercato di enfatizzare come la Fisica Matematica si concentri sull'applicazione di strumenti matematici avanzati per risolvere problemi della Fisica o per reinterpretare e ristrutturare argomenti già battuti - spesso creando nuovi strumenti matematici in questo processo; al contempo, la Fisica Teorica si focalizza sulla costruzione di modelli teorici di generalità crescente al fine di spiegare e sistematizzare l'evidenza empirica portata alla luce dagli esperimenti e dalle osservazioni empiriche.

Entrambe le discipline sono estremamente importanti per l'avanzamento della nostra conoscenza e in un certo qual modo esse si rendono portatrici di approcci che si compensano a vicenda: spesso, infatti, fisici teorici e fisici matematici si ritrovano a collaborare su problemi di interesse comune.

Quindi la scelta di orientare i propri studi più verso la fisica teorica o la fisica matematica, è sovente determinata dai propri interessi personali e dalle proprie preferenze e attitudini culturali, e da ultimo, ma non per importanza, dalla ricerca che viene portata avanti nel dipartimento in cui ci si forma. 

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In chiusura, spero che questo breve articolo possa essere utile a tutti coloro i quali, arrivati ad un certo punto della propria formazione, si siano trovati a dover scegliere come orientare la direzione dei propri studi. Quello che vorrei dire a queste persone è che, a prescindere dal particolare percorso che decideranno di intraprendere, se in questo percorso vi saranno delle buone dosi di Fisica e di Matematica e dei bravi insegnanti, si tratterà certamente di una avventura intellettuale e formativa feconda e ricca di stimoli.