Lezione di matematica: quali asintoti ha una funzione?

Dopo l'identificazione del dominio, ed eventualmente dello studio del segno, di una funzione, una delle prime cose che di solito si fanno è studiare il comportamento di una funzione "all'infinito" e intorno ad dei punti particolari. Si possono distinguere tre tipi di asintoti nelle lezioni di matematica: orizzontale, verticale ed obliquo. L'unico modo per sapere quali (e quanti) asintoti presenta una funzione è studiare degli appositi limiti.

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Come sapere se una funzione ha un asintoto orizzontale?

In generale è opportuno sapere come la funzione si comporta per x che va a meno infinito e più infinito, ovvero come si comporta la funzione "all'estrema sinistra" e "all'estrema destra" del grafico. Per capirlo, si effettua il limite per x che tende a + infinito di f(x). Se tale limite esiste ed è finito, allora esiste un asintoto orizzontale di equazione y = L (vedi formula sotto). Lo stessa verifica va effettuata per x che tende a - infinito

Come sapere se una funzione ha un asintoto verticale?

Un asintoto verticale è un punto in cui la funzione presenta una discontinuità. Di conseguenza, se chiamiamo tale punto x = x0, f(x0) sarà uguale a più o meno infinito. E' possibile identificare tali punti, se esistono, già dallo studio del dominio: se una funzione non è definita in uno o più punti, è molto probabile che in tali punti vi siano degli asintoti verticali.Tuttavia in questo caso di solito si effettua lo studio del limite che tende a x0 "da destra" (x0+) ed x0 "da sinistra" (x0-) (vedi formula sotto).

In altre parole, la prima formula si può leggere: "come si comporta la funzione se, da x = -infinito, vado verso x0?". Mentre la seconda formula si può leggere: "come si comporta la funzione se, da x = +infinito, vado verso x0?". Si possono verificare due casi:

• Se entrambi i limiti sono uguali ad infinito, allora la funzione tende ad infinito sia venendo da sinistra che da destra verso x0.
• Se ad esempio il secondo limite (verso x0+) è diverso da inifinito, ma è infinito il primo limite (verso x0-), la funzione è definita in x0+ (quindi, ad esempio, f(x0+) = k), ma tende ad infinito "venendo da sinistra, verso x0".

Come sapere se una funzione ha un asintoto obliquo?

Se una funzione ha un asintoto obliquo, vuol dire che esiste una retta verso la quale la funzione tende per x che tende a infinito. Non conoscendo le caratteristiche di tale retta, si considera una retta di equazione generica y = mx + q.Se quindi la funzione ha un asintoto obliquo, deve tendere a tale retta per x che tende a infinito. Per verificare se la funzione ha asintoto obliquo, si possono effettuare una serie di passaggi:

1. Si calcola il limite per x che tende a infinito di f(x). Se tale limite è infinito, allora non esiste asintoto obliquo
2. Se il limite al punto 1. esiste ed è finito, allora si effettua il limite per x che tende a infinito di f(x)/x. Se tale limite è finito, ad esempio pari ad m, allora esiste l'asintoto obliquo, ed m è il coefficiente angolare della retta a cui tende la funzione. Se il limite non esiste o è infinito, allora non esiste asintoto obliquo.
3. Se tutti i limiti precedenti esistono, l'asintoto obliquo dovrebbe avere equazione y = mx + q, dove q non lo conosciamo ancora. Se il limite per x che tende a infinito di [f(x) - mx] non esiste o è infinito, allora non esiste asintoto obliquo. Altrimenti, se esiste finito tale limite, questo coincide con il valore di q.

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Dopo i tre passaggi precedenti, abbiamo tutto ciò che ci serve per tracciare l'asintoto obliquo della funzione, che sarà identificato dall'equazione y = mx + q, con m trovata al punto 2, e q trovata al punto 3.

Conclusione

Come visto sopra, non è difficile verificare se una funzione ammette uno degli asintoti trattati, basta sapere le regole che stabiliscono quando un asintoto esiste o meno. Occorre però ovviamente armarsi di (a volte tanta) pazienza per risolvere i limiti necessari!

Buono studio!