Come si può definire una funzione e quali sono i passaggi per uno studio di funzione adeguato

Per prima cosa, quando ci accingiamo a studiare questo argomento durante le ripetizioni di matematica, è necessario definire cosa sia una funzione, ovvero dati due insiemi A e B, si può definire come la relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

L'insieme A si chiama dominio, e sui grafici cartesiani è l'insieme dei valori di x per cui è definita la nostra funzione f(x); l'insieme degli elementi di B è invece detto codominio, e sono i valori di y sul piano cartesiano.

Può essere classificata come: suriettiva, se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine;

Ad esempio (vedi immagine): a y=1 corrispondono i punti A, B, C

Iniettiva, se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine;

 Ad esempio (vedi immagine): a y=0 corrisponde un solo punto, quello in cui x vale circa 0.5

Passiamo ora però ai fatti, e non solo alla teoria classificatoria.

Ripetizioni matematica: come si possono risolvere le funzioni? 

All'inizio è molto semplice, ma, man mano che si prosegue con gli anni di studio (specialmente nei licei scientifici), gli step aumentano.

La prima cosa da fare in assoluto è trovare il dominio della funzione, ovvero dove tale funzione esiste. 

In generale, se la funzione è una funzione razionale intera del tipo y=P(x) il dominio è sempre R; se la funzione è razionale fratta è necessario fare il denominatore diverso da zero (il dominio sarà quindi R-il risultato ottenuto ponendo il denominatore diverso da zero)); nel caso in cui si abbiano irrazionali (quindi radici) i casi sono due: se l'esponente della radice è dispari, il dominio è R, se invece l'esponente della radice è pari è necessario porre il radicando, ovvero ciò che sta sotto la radice, maggiore di zero.

Una volta trovato il dominio, è necessario trovare le intersezioni con gli assi:

• per trovare le intersezioni con l'asse x (gli zeri della funzione) basta porre y=0. Nel caso di funzione fratta, è uguale a zero quando il numeratore è uguale a zero (non è necessario porre anche il denominatore uguale a zero); 
• per trovare le intersezioni con l'asse y, invece, basta porre x=0, ovvero sostituire a tutte le x della funzione il valore 0

Lo step successivo è lo studio del segno, il quale consiste semplicemente nel porre la funzione maggiore di zero (y>0), in questo modo si potranno disegnare sul grafico le aree in cui la funzione esiste (positive/negative).

Se si è ai primi anni di superiori lo studio di funzione termina già a questo punto.

Si può richiedere magari di trovare le simmetrie della funzione, e in quel caso è necessario conoscere la differenza tra funzioni pari e dispari. Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y (ad esempio la classica parabola) --> f(-x)=f(x); le funzioni dispari sono invece simmetriche rispetto all'origine --> f(-x)=-f(x).

Per comprendere quindi se una funzione è pari, dispari o nessuna delle due, basti semplicemente fare la f(-x) della propria funzione, ovvero sostituire a ogni x "-x": se si otterrà una funzione identica a quella di partenza, f(x), la funzione sarà pari; se si otterrà una funzione -f(x) allora la funzione sarà dispari; se non rientra in nessuno dei due casi semplicemente non sarà né pari né dispari.

Per quanto riguarda coloro che sono a un livello più avanzato, vi sono altri step da compiere, che permettono non sono di identificare le aree in cui la funzione esiste o meno, ma anche di disegnare il grafico possibile della funzione.

È necessario trovare i limiti della funzione nei punti + e - infinito e nei punti in cui la funzione non esiste (gli zeri della funzione). In questo modo ci sarà possibile capire verso cosa tenderà la funzione nei punti in cui ci è impossibile saperlo.

Risolvi i tuoi dubbi

Grazie anche ai limiti, si trovano gli asintoti della funzione: se il limite di una funzione che tende a infinito risulta uguale a un numero finito, allora si avrà un asintoto orizzontale (in riferimento a funzioni fratte si ha solo se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore); se il limite di una funzione che tende a un numero finito risulta uguale a infinito, si avrà un asintoto verticale (si ha quando il denominatore è pari a zero); si ha invece un asintoto obliquo solo se il grado del numeratore della funzione è maggiore di uno rispetto al grado del numeratore. 

Successivamente anche a questo passaggio si passa all'individuazione della derivata prima e seconda. 

La derivata prima deve poi essere posta uguale a zero per ricercare i punti stazionari, ovvero i valori di x che annullano la derivata prima della funzione. Indicano i massimi e minimi della funzione.

Per capire la natura di questi punti e capire se si tratta di un massimo oppure un minimo, la derivata prima viene posta maggiore di zero, studiandone il segno come si faceva per la funzione iniziale.

Sostituendo poi le x trovate all'interno della funzione di partenza si trovano le coordinate dei punti di massimo e minimo.

La derivata seconda serve invece per studiare la concavità della funzione.

Si pone uguale a zero per ricercare i punti di flesso, ovvero i punti in cui la concavità cambia, mentre si pone maggiore di zero per comprendere in che modo cambia.