Le equazioni di primo grado, come risolverle

Un'equazione di primo grado è della forma ax=b, dove a e b sono generici numeri reali e x è l'incognita da determinare dell'equazione.

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Si distinguono i seguenti casi:

• Caso 1

Se a=b=0, l'equazione diventa 0x=0, ovvero 0=0, che è un'identità sempre vera, e in questo caso l'equazione ammette infinite soluzioni reali, poiché qualunque sia il numero reale x, se viene moltiplicato per 0 si ottiene sempre 0. In questo caso si dice che l'equazione è indeterminata.

• Caso 2

Se a=0 e b≠0, l'equazione diventa 0x=b, cioè 0=b, con b non nullo, che è un'identità che non è mai vera, essendo b un numero reale diverso da 0. In questo caso l'equazione non ammette soluzioni reali, e si dice impossibile.                                                                       

Esempio 1: 0=3 è impossibile poiché 3 è diverso da 0.

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• Caso 3

Se a≠0, è possibile dividere ambo i membri dell'equazione per a (essendo a non nullo), ottenendo x=b/a. In questo caso l'equazione ammette un'unica soluzione e si dice determinata.     

Esempio 2: 3x=5 ammette come unica soluzione x=5/3, essendo 3 diverso da 0.

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Riepilogando possiamo avere 3 casi:

• il primo caso in cui l'equazione è indeterminata, ovvero ammette infinite soluzioni;
• il secondo caso in cui l'equazione è impossibile, cioè non esistono soluzioni
• il terzo caso in cui l'equazione è determinata, ossia ammette un'unica soluzione.

Esempio 3: risolviamo la seguente equazione:

3(x-1)+4x-5=7x+9(2x-7)

L'obiettivo è innanzitutto quello di svolgere tutti i conti in modo tale da ridurre l'equazione in forma canonica del tipo ax=b.

Svolgendo tutti i prodotti si ottiene: 3x-3+4x-5=7x+18x-63.

Portando le incognite a primo membro e i termini noti a secondo membro, ricordando che se un termine cambia membro cambia di segno, l'equazione diventa:

3x+4x-7x-18x=-63+3+5

E quindi sommando risulta -18x=-55 e quindi x=55/18.