Cos'è un dominio? I 10 domini più utilizzati di una funzione, spiegazione con esempi

Un dominio di una funzione nelle lezioni di matematica è un insieme di definizione della funzione, dove cioè questa può esistere.

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Ad esempio, data una funzione f : A->B, ovvero che prende elementi dall'insieme A e li trasforma in elementi di B, il dominio della funzione è l'insieme A, cioè l'insieme di partenza
Deve accadere quindi che ci siano elementi dell'insieme di partenza A che "trasformati" attraverso la funzione, diano risultati sensati. La funzione, infatti, restituisce un valore y=f(x) che è appunto funzione di x. 

Facciamo degli esempi concreti, illustrando i tipi più comuni di domini:
1) Partiamo da un polinomio. La funzione y= 2x+5 ammette qualsiasi valore possibile x appartenente all'insieme R, dei numeri reali. Infatti, sostituendo un valore di R al posto di x, si ottiene un valore y comunque appartenente ai reali. Non accadono "cose strane" di alcun tipo, e la funzione può quindi essere definita per qualunque valore di R (dominio della funzione);

2) Prendiamo adesso un polinomio di tipo frazionario. La funzione y= 7x/(4-x) è definita per qualunque valore di x appartenente a R? No. In questo caso, abbiamo un problema al denominatore, che sappiamo deve essere diverso da zero. Perciò la funzione al denominatore y'=4-x non può essere nulla. Ovvero 4-x≠0 , quindi x≠4. Allora definiremo il dominio della funzione y=f(x) in questo modo:
Dom (f)= (-∞,4) U(4,+∞);

3-4)Passiamo alle funzioni irrazionali: y=x2−1

In questo caso ci troviamo di fronte ad una radice quadrata, o comunque con indice pari. La regola per trovare il dominio della funzione consiste nel porre maggiore o uguale a zero l'argomento della radice. Non esiste una radice con indice pari definita per valori negativi!
Perciò x^2 -1 ≥ 0. Si tratta di un'equazione di secondo grado che ci porta come risultati x≤-1 e x≥1. 

Diremo che il dominio di tale funzione sarà: Dom (f)= (-∞,-1] U[1,+∞);

Se invece la funzione radice avesse avuto un indice dispari (es. radice cubica), non ci sarebbero stati problemi sull'argomento della radice, che avrebbe potuto assumere qualsiasi valore. In tal caso Dom (f)= R

5-6) y=ln (x+3). Per quanto riguarda il logaritmo, la definizione delle funzioni esponenziali (e dei logaritmi ) ci impone che l'argomento del logaritmo deve necessariamente essere positivo , x+3 >0. Perciò x> -3. 
Dom (f)= (-3,+∞)
Se il logaritmo avesse invece base diversa da quella naturale "e", ovvero y=log_a(x+3) (dove la notazione " _a" indica "con base a"), dobbiamo stare attenti che anche la base "a" sia positiva e diversa da 1.

7) Passiamo ad una semplice funzione esponenziale: y= e^(7x).
In tal caso, non ci sono problemi sul dominio. Sostituendo un qualsiasi valore al posto di x, si ottiene un valore di y che può appartenere a tutto l'asse reale. Dom(f)=R;

8)y=sin(4x+1). Con la funzione seno (o coseno) dobbiamo invece essere attenti alla definizione che ci fornisce la trigonometria: il seno di una funzione non può essere maggiore di 1, o minore di -1. In termini matematici -1≤y≤1. Tuttavia, questo non comporta problemi per il dominio della funzione, in quanto seno e coseno sono definite per tutto R. Dom(f)=R;

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9) y=tan(x). In questo caso invece dobbiamo prestare attenzione. La tangente di una funzione non è definita in tutto R!
Infatti, tan(x) si può scrivere come sin(x)/cos(x). Trovando il coseno al denominatore, è adesso chiaro che questo deve essere diverso da zero. Perciò dobbiamo imporre cos(x)≠0, quindi che l'argomento del coseno non sia uguale a π/2.
Dom(f)=x≠π/2 + kπ, con k numero intero

10) Concludiamo con un esempio più complesso. y=sin(2x)/(cos2x -1)
In questo caso abbiamo una funzione frazionaria. Il denominatore deve essere perciò diverso da zero. Per il numeratore non ci sono problemi, la funzione seno è definita in tutto R.
La funzione coseno è anch'essa definita in tutto R. Abbiamo detto però che cos(2x)-1≠0. Allora cos(2x)≠1. Il coseno di una funzione è identico a 1 per argomento=0+2kπ.
Dom (f)=2x≠2kπ -> x≠kπ