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Dimostrazione della razionalità di un numero
Mi piaceQuesta dimostrazione diretta verrà affrontata con un semplice esercizio di una lezione di matematica.
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L'obiettivo è cominciare a familiarizzare con il processo cognitivo del costrutto matematico il quale risulta lineare e democratico, che non lascia spazio a dubbi di qualsiasi natura e che necessita di poche semplici nozioni tra le quali:
- Definizione di numero primo (divisibile per se stesso e per 1)
- Definizione di numero razionale (Q) e naturale (N)
- Proprietà simmetrica dell'uguaglianza (se a=b allora b=a)
- Definizione di quadrato perfetto ( es. 9 è perfetto perché è esprimibile come 3^2)
Perciò Sia n ∈ N (insieme dei numeri naturali)
Dimostrare che √n è razionale se e solo se n è un quadrato perfetto. (In altre parole, √n può essere soltanto un numero intero o un numero razionale.)
Cioè n ∈ Q se e solo se n = p^2 (dove p è un numero generico che appartiene a N)
Risolviamo l'esercizio di matematica
Considerazione iniziale: se n è un quadrato perfetto, allora la sua radice quadrata è intera e quindi razionale (cioè si può dividere in due numeri chiamati per esempio p/q).
(Ip) Supponiamo ora che √n ∈ Q (e vogliamo dimostrare che n è un quadrato perfetto).
Possiamo quindi scrivere √n = p/q dove p, q ∈ N sono primi tra loro. Ne otteniamo, elevando al quadrato e portando a sx q^2 l’uguaglianza risulta:
nq^2= p^2
I divisori primi di p sicuramente non dividono q (in quanto p, q sono coprimi!).
Se qualche altro numero primo dividesse q, esso dividerebbe anche p, il che è impossibile nell'(i) ipotesi che abbiamo citato. Ne segue che q non ha divisori primi!
(Ts) Necessariamente q = 1, da cui n = p^2 che è un quadrato perfetto.
[q.e.d.]
