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Ripetizioni matematica: equazioni di secondo grado, metodi risolutivi
Mi piaceUn'equazione di secondo grado è della forma ax²+bx+c=0, con a, b, c numeri reali e a≠0 (se fosse a=0 l'equazione non sarebbe di secondo grado).
Si presentano i seguenti casi.
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Caso 1
Se b=c=0, l'equazione diventa ax²=0, ed essendo a non nullo, dividendo ambo i membri dell'equazione per a, si ottiene x²=0, che ha come unica soluzione (di molteplicità 2) x=0.
In tal caso l'equazione si dice monomia.
Caso 2
Se b=0 e c≠0, l'equazione assume la forma ax²+c=0.
Senza ledere di generalità, possiamo supporre a>0 (poiché se fosse a<0, cambiando di segno all'equazione si otterrebbe -ax²-c=0, con -a>0 e posto a'=-a e c'=-c, l'equazione avrebbe la forma a'x²+c'=0, con a'>0).
Da ciò segue che ax²=-c, cioè x²=-c/a.
Osserviamo che se c>0, -c/a<0, quindi in questo caso l'equazione non ammetterebbe soluzioni reali, poiché un quadrato non può mai essere negativo, dunque l'equazione è impossibile.
Se c<0, -c/a>0, e da ciò segue che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte: x=√(-c/a) e x=-√(-c/a) che sono l'una l'opposta dell'altra.
In tal caso l'equazione si dice pura.
Esempi: l'equazione 2x²+3=0 non ammette soluzione reali poiché 2x²≥0 e 3>0, quindi la somma di questi termini è sempre positiva e non può essere mai nulla.
L'equazione 4x²-9=0 ammette dure radici reali e distinte, infatti:
4x²-9=0 ⇔ x²=9/4 ⇔ x=√(9/4)=3/2 oppure x=-√(9/4)=-3/2
Caso 3
Se b≠0 e c=0, l'equazione diventa ax²+bx=0, e quindi mettendo in evidenza x risulta che x(ax+b)=0.
Per la legge di annullamento del prodotto si ha che il prodotto di due fattori è nullo se e solo se uno dei due fattori è nullo, e quindi si ottiene x=0 oppure ax+b=0, cioè x=-b/a.
Di conseguenza l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte x=0 e x=-b/a.
In questo caso l'equazione si dice spuria.
Osserviamo che in un'equazione spuria è sempre presente la soluzione x=0.
Esempio: Risolviamo l'equazione x²-2x=0. Mettendo in evidenza x si ottiene x(x-2)=0, e quindi le soluzioni sono x=0 e x=2.
Caso generale
Supponiamo ora che b e c siano generici numeri reali (possono essere nulli o non nulli). Questo metodo risolutivo è utile per risolvere anche i casi banali precedenti.
Consideriamo l'equazione ax²+bx+c=0 con a≠0. Essendo a≠0, dividendo l'equazione per a, essa diventa x²+(b/a)x+c/a=0.
L'obiettivo è trovare una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, e per far ciò utilizziamo il cosiddetto metodo di completamento del quadrato, vediamo in cosa consiste.
Il trinomio di secondo grado x²+((b/a)x+c/a ha come primo termine x² e come secondo termine ((b/a)x; l'obiettivo è aggiungere a x²+((b/a)x un terzo termine in modo tale che il trinomio risultante sia un quadrato di binomio.
Per far ciò basta osservare che x² è il quadrato di x e ((b/a)x è il doppio prodotto tra x è l'altro termine da elevare al quadrato, cioè: 2xy=((b/a)x e quindi y=b/(2a).
Da cui segue che y²=b²/(4a²).
Di conseguenza: x²+(b/a)x+c/a=0 ⇔ x²+(b/a)x+b²/(4a²)-b²/(4a²)+c/a=0 ⇔ (x+b/(2a))²-b²/(4a²)+c/a=0 ⇔ (x+b/(2a))²=b²/(4a²)-c/a ⇔ (x+b/(2a))²=(b²-4ac)/(4a²).
Da ciò si evince che le soluzioni di questa equazione dipendono dal termine b²-4ac.
Poniamo Δ=b²-4ac. Se Δ<0, l'equazione non ammette soluzioni reali, poiché un quadrato non può mai essere negativo.
Se Δ=0, l'equazione diventa (x+b/(2a))²=0, e quindi x=-b/(2a). Se Δ>0, otteniamo due soluzioni reali e distinte:
x=(-b-√Δ)/(2a) e x=(-b+√Δ)/(2a)
Esempi: l'equazione x²+x+1=0 non ammette soluzioni reali poiché Δ=1-4=-3<0. L'equazione x²-2x+1=0 ha Δ=4-4=0, pertanto ha un unica soluzione di molteplicità 2 x=1.
L'equazione x²-5x+4=0 ha Δ=25-16=9>0, quindi ammette due soluzioni reali e distinte:
x=(5-3)/2=1 e x=(5+3)/2=4
