Ripetizioni matematica: equazioni di secondo grado, metodi risolutivi

Un'equazione di secondo grado è della forma ax²+bx+c=0, con a, b, c numeri reali e a≠0 (se fosse a=0 l'equazione non sarebbe di secondo grado).

Si presentano i seguenti casi.

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Caso 1

Se b=c=0, l'equazione diventa ax²=0, ed essendo a non nullo, dividendo ambo i membri dell'equazione per a, si ottiene x²=0, che ha come unica soluzione (di molteplicità 2) x=0.

In tal caso l'equazione si dice monomia.

Caso 2

Se b=0 e c≠0, l'equazione assume la forma ax²+c=0.

Senza ledere di generalità, possiamo supporre a>0 (poiché se fosse a<0, cambiando di segno all'equazione si otterrebbe -ax²-c=0, con -a>0 e posto a'=-a e c'=-c, l'equazione avrebbe la forma a'x²+c'=0, con a'>0).

Da ciò segue che ax²=-c, cioè x²=-c/a.

Osserviamo che se c>0, -c/a<0, quindi in questo caso l'equazione non ammetterebbe soluzioni reali, poiché un quadrato non può mai essere negativo, dunque l'equazione è impossibile.

Se  c<0, -c/a>0, e da ciò segue che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte: x=√(-c/a) e x=-√(-c/a) che sono l'una l'opposta dell'altra.

In tal caso l'equazione si dice pura.

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Esempi: l'equazione 2x²+3=0 non ammette soluzione reali poiché 2x²≥0 e 3>0, quindi la somma di questi termini è sempre positiva e non può essere mai nulla.

L'equazione 4x²-9=0 ammette dure radici reali e distinte, infatti:

4x²-9=0 ⇔ x²=9/4 ⇔ x=√(9/4)=3/2 oppure x=-√(9/4)=-3/2

Caso 3

Se b≠0 e c=0, l'equazione diventa ax²+bx=0, e quindi mettendo in evidenza x risulta che x(ax+b)=0.

Per la legge di annullamento del prodotto si ha che il prodotto di due fattori è nullo se e solo se uno dei due fattori è nullo, e quindi si ottiene x=0 oppure ax+b=0, cioè x=-b/a.

Di conseguenza l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte x=0 e x=-b/a.

In questo caso l'equazione si dice spuria.

Osserviamo che in un'equazione spuria è sempre presente la soluzione x=0.

Esempio: Risolviamo l'equazione x²-2x=0. Mettendo in evidenza x si ottiene x(x-2)=0, e quindi le soluzioni sono x=0 e x=2.

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Caso generale

Supponiamo ora che b e c siano generici numeri reali (possono essere nulli o non nulli). Questo metodo risolutivo è utile per risolvere anche i casi banali precedenti.

Consideriamo l'equazione ax²+bx+c=0 con a≠0. Essendo a≠0, dividendo l'equazione per a, essa diventa x²+(b/a)x+c/a=0.

L'obiettivo è trovare una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, e per far ciò utilizziamo il cosiddetto metodo di completamento del quadrato, vediamo in cosa consiste.

Il trinomio di secondo grado x²+((b/a)x+c/a ha come primo termine x² e come secondo termine ((b/a)x; l'obiettivo è aggiungere a x²+((b/a)x un terzo termine in modo tale che il trinomio risultante sia un quadrato di binomio.

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Per far ciò basta osservare che x² è il quadrato di x e ((b/a)x è il doppio prodotto tra x è l'altro termine da elevare al quadrato, cioè: 2xy=((b/a)x e quindi y=b/(2a).

Da cui segue che y²=b²/(4a²).

Di conseguenza: x²+(b/a)x+c/a=0 ⇔ x²+(b/a)x+b²/(4a²)-b²/(4a²)+c/a=0 ⇔ (x+b/(2a))²-b²/(4a²)+c/a=0 ⇔ (x+b/(2a))²=b²/(4a²)-c/a ⇔ (x+b/(2a))²=(b²-4ac)/(4a²).

Da ciò si evince che le soluzioni di questa equazione dipendono dal termine b²-4ac.

Poniamo Δ=b²-4ac. Se Δ<0, l'equazione non ammette soluzioni reali, poiché un quadrato non può mai essere negativo.

Se Δ=0, l'equazione diventa (x+b/(2a))²=0, e quindi x=-b/(2a). Se Δ>0, otteniamo due soluzioni reali e distinte:

x=(-b-√Δ)/(2a) e x=(-b+√Δ)/(2a)

Esempi: l'equazione x²+x+1=0 non ammette soluzioni reali poiché Δ=1-4=-3<0. L'equazione x²-2x+1=0 ha Δ=4-4=0, pertanto ha un unica soluzione di molteplicità 2 x=1.

L'equazione x²-5x+4=0 ha Δ=25-16=9>0, quindi ammette due soluzioni reali e distinte:

x=(5-3)/2=1 e x=(5+3)/2=4