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Esercizi di matematica per il liceo: il calcolo di limiti
Mi piaceLa teoria dei limiti è uno degli ultimi argomenti trattati nei licei, di vitale importanza per chi poi vorrà accedere a corsi universitari di ambito scientifico e una sua buona comprensione è di grande aiuto per le lezioni di matematica di ogni matricola universitaria.
Ecco qui alcuni esercizi di calcolo di limiti in cui bisogna applicare limiti fondamentali e teoremi della teoria.
Esercizio 1
Questo limite che a primo impatto è indeterminato, essendoci indeterminato il limite del seno, in realtà è facilmente risolvibile con il teorema dei due carabinieri. Infatti si nota che poiché il seno è un funzione compresa tra -1 e 1 vale la seguente disuguaglianza:
Ora poiché il limite di x (per x tendente a 0) è zero, e lo stesso vale per -x, si ha per il teorema dei carabinieri che:
Attenzione a non farvi ingannare del fatto che non esiste il limite del sin(1/x) per x tendente a infinito. Ma perché non esiste?
Esercizio 2
Dimostrare che il seguente limite non esiste:
Consideriamo due funzioni:
Sia f che g tendono a infinito ma osserviamo che:
Ma per il teorema di unicità del limite questo non è possibile e quindi il limite non esiste.
Esercizio 3
Calcolare il seguente limite:
A primo impatto può essere complicata la sua risoluzione ma in realtà solo perché è scritto in modo scomodo! Infatti si può osservare che i 2n addendi al numeratore si possono raggruppare in n coppie: 1-2, 3-4, ... , 2(n-1)-2n. Ma ogni coppia è uguale a -1, quindi il numeratore è uguale a -n!
Ora è decisamente più semplice calcolare il limite:
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