Esercizi di matematica per il liceo: il calcolo di limiti

Giacomo

Pubblicato da Giacomo

La teoria dei limiti è uno degli ultimi argomenti trattati nei licei, di vitale importanza per chi poi vorrà accedere a corsi universitari di ambito scientifico e una sua buona comprensione è di grande aiuto per le lezioni di matematica di ogni matricola universitaria.

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Ecco qui alcuni esercizi di calcolo di limiti in cui bisogna applicare limiti fondamentali e teoremi della teoria. 

Esercizio 1

Questo limite che a primo impatto è indeterminato, essendoci indeterminato il limite del seno, in realtà è facilmente risolvibile con il teorema dei due carabinieri. Infatti si nota che poiché il seno è un funzione compresa tra -1 e 1 vale la seguente disuguaglianza:

Ora poiché il limite di x (per x tendente a 0) è zero, e lo stesso vale per -x, si ha per il teorema dei carabinieri che:

Attenzione a non farvi ingannare del fatto che non esiste il limite del sin(1/x) per x tendente a infinito. Ma perché non esiste?

Esercizio 2

Dimostrare che il seguente limite non esiste:

Consideriamo due funzioni:

Sia f che g tendono a infinito ma osserviamo che:

Ma per il teorema di unicità del limite questo non è possibile e quindi il limite non esiste.

Esercizio 3

Calcolare il seguente limite:

A primo impatto può essere complicata la sua risoluzione ma in realtà solo perché è scritto in modo scomodo! Infatti si può osservare che i 2n addendi al numeratore si possono raggruppare in n coppie: 1-2, 3-4, ... , 2(n-1)-2n. Ma ogni coppia è uguale a -1, quindi il numeratore è uguale a -n!

Ora è decisamente più semplice calcolare il limite:

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