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Ripetizioni di matematica: Come calcolare il tasso di variazione medio di una funzione?
Mi piaceOggi parleremo di come calcolare il tasso di variazione medio di una funzione, uno degli argomenti che mette in difficoltà moltissimi studenti durante le lezioni di matematica. Prima di iniziare, vi spiegherò cos’è, per poi approfondire l’argomento nei prossimi paragrafi.
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Cos’è il tasso di variazione medio?
Il tasso di variazione medio (T.V.M.) di una funzione in un intervallo chiuso misura l’aumento o la diminuzione di quella funzione nello stesso intervallo. In altre parole, osserviamo quanto è inclinata o "appianata" la pendenza in un tratto della funzione. Misuriamo quanto cresce la y diviso per quanto varia la x in una parte specifica della funzione.
Come calcolare il T.V.M. di una funzione f(x) in un intervallo [a, b] (versione facile)
Come abbiamo visto, il tasso di variazione medio è quanto aumenta o diminuisce la f(x) o "y" rispetto alla "x", ovvero un rapporto. La sua formula è la seguente:
T.V.M. [a, b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)
💡Trucco per ricordare la formula: Pensa alla parola "baba" o "Alibaba". In questo modo saprai che la b viene prima della a sia nel numeratore che nel denominatore.
Ora supponiamo che ci venga chiesto di calcolare il T.V.M. della funzione f(x)= x^2-x+3 nell'intervallo [2, 3]. Ecco come si risolverebbe:
- Identificare cosa sono a e b.
- Calcolare il valore di f(b).
- Calcolare il valore di f(a) (non importa se fai prima il punto 2 o il 3).
- Inserire i valori nella formula e risolvere.
Passo 1: Identificare a e b
Se ci viene chiesto di calcolare il T.V.M. in un intervallo [a, b], il valore a sinistra è ‘a’ e quello a destra è ‘b’. Quindi, a=2a e b=3b.
Passo 2: Calcolare f(b) inserendo il valore di b nella funzione:
f(3) = 3^2 - 3 + 3 = 9 - 3 + 3 = 9
Passo 3: Fare lo stesso con f(a):
f(2) = 2^2 - 2 + 3 = 4 - 2 + 3 = 5
Passo 4: Inserire i risultati nella formula e calcolare:
(f(b) - f(a)) / (b - a) = (9 - 5) / (3 - 2) = 4 / 1 = 4
Il T.V.M. della funzione f(x) = x^2 - x + 3 nell’intervallo [2, 3] è 4.
Dimostrazione grafica
Possiamo osservare l’incremento della funzione dai punti (2, 5) e (3, 9).
La linea rossa rappresenta la funzione, mentre la linea blu rappresenta la retta secante che passa per i due punti dell’intervallo (retta tangente), equivalente alla pendenza della funzione. Questa retta è la funzione f(x) = 4x - 3, quindi ha un incremento di 4 rispetto alla x.
Si nota che per ogni unità in cui la funzione avanza sull’asse x, la funzione sale di 4 unità sull’asse y. È come se per ogni gol che segni ti regalassero quattro caramelle.
La nostra funzione si è spostata di una unità in orizzontale (da 2 a 3) e di quattro unità in verticale (da 5 a 9), il tutto nell’intervallo chiuso [2, 3].
Il T.V.M. di una funzione f(x) in un intervallo [a, a + h] (versione avanzata)
Ora che abbiamo visto come calcolare il T.V.M. in un intervallo chiuso [a, b], vediamo come si fa in un intervallo [a, a + h].
Ci sono due principali differenze:
- Gestiamo una variabile incognita, h:
Di conseguenza, il risultato del T.V.M. conterrà anche la variabile h. Questo può sembrare complesso, ma è normale: poiché h è una variabile, il risultato dipenderà da essa. - Inserire una somma (a + h):
Non lavoriamo solo con un numero fisso, ma con la somma di una lettera e un numero (a + h). Qui è necessario fare attenzione, poiché se lavoriamo in fretta o perdiamo un dettaglio, rischiamo di commettere errori con segni negativi o potenze. Questi errori possono compromettere l’intero esercizio, soprattutto durante un esame.
Inizia le ripetizioni di matematica
La formula questa volta è quasi la stessa. Si sostituisce solo f(b) con f(a+h):
T.V.M. ([a, a + h]) = (f(a + h) - f(a)) / (f(a + h) - f(a))
Detto questo, calcoliamo il T.V.M. della funzione f(x) = x^2 - x + 3 nell’intervallo [2, 3], come nell’esercizio precedente. Seguiremo le stesse istruzioni:
- Differenziare a da a+h. Questo è già indicato dall’intervallo, quindi saltiamo questo passaggio.
- Calcolare il valore di f(a).
- Calcolare il valore di f(a+h). Per precauzione, inserire sempre a+h tra parentesi.
- Sostituire i valori nella formula e calcolare.
Passo 2: Calcoliamo f(a) sostituendo il valore di a nella funzione:
f(2) = 2^2 - 2 + 3 = 4 - 2 + 3 = 5
Passo 3: Calcoliamo f(a+h) sostituendo a+h nella funzione, ricordando di mettere a+h tra parentesi:
f(2 + h) = (2 + h)^2 - (2 + h) + 3 = (4 + 4h + h^2) - 2 - h + 3 = h^2 + 3h + 5
Passo 4: Sostituiamo i risultati nella formula e calcoliamo:
(f(a + h) - f(a)) / ((a + h) - a)) = (h^2 + 3h + 5) - 5) / (2 + h) - 2 = (h^2 + 3h) / h = (h + 3) / 1 = h + 3
Il T.V.M. è h + 3. Questo è il risultato finale; non ci sono ulteriori passaggi. Il risultato vale per qualsiasi valore di h.
Se ti confonde, supponi che h sia uguale a 1:
Guarda la dimostrazione grafica precedente e noterai che se h=1, allora h rappresenta la distanza tra 2 e 3. Quindi sarebbe lo STESSO esempio di prima:
- f(2 + h) = f(3) -> h^2 + 3h + 5 = (1)^2 + 3(1) + 5 = 9
- h + 3 = 4
Considerazioni finali
Perché si chiama intervallo "chiuso"?
Esistono due tipi di intervalli: aperti e chiusi. Gli intervalli aperti includono ciò che c’è al loro interno, ma non i due estremi. Al contrario, gli intervalli chiusi includono anche i due punti estremi.
Esempio:
- L’intervallo aperto (2, 3) include numeri che vanno da 2,0000...1 a 2,9999...9.
- L’intervallo chiuso [2, 3] include i numeri da 2 a 3.
Perché "b - a" e non "a - b"?
Perché calcoliamo la variazione tra due punti (intervallo) misurando il valore del secondo punto (cioè, b) rispetto al primo punto (cioè, a). Se facessimo l’operazione con "a-b", otterremmo il T.V.M. con il segno opposto.
Grazie per aver letto l’articolo!
Spero che ti sia piaciuto e che tu abbia imparato qualcosa di nuovo. 😊
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