Come imparare quali asintoti ha una funzione?

Per quanto riguarda lo studio delle funzioni nelle lezioni di matematica, particolare rilievo assume lo studio degli asintoti.

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Ma cosa sono gli asintoti? Sono quelle rette immaginarie che rappresentano un vero e proprio limite per la funzione. Detto più specificatamente, i punti della curva che rappresenta la funzione si avvicinano sempre di più alle rette che rappresentano gli asintoti, ma senza mai toccarle.
Quindi, possiamo sintetizzare dicendo che ciò che accade realmente è che la funzione tende ad avvicinarsi alle rette asintotiche, ma non le riesce mai a toccare (se non all'infinito) e ancor meno ad oltrepassare, per questo possiamo dire che gli asintoti sono un vero e proprio limite per la curva della funzione.

Come tutte le rette, anche quelle asintotiche hanno un loro coefficiente angolare che indica la pendenza della retta. Distinguiamo quindi gli asintoti in:
-verticali: rappresentati da una retta a pendenza infinita;
-orizzontali: rappresentati da una retta a pendenza nulla;
-obliqui: rappresentati da una retta a pendenza qualunque che non sia uno dei due casi particolari sopra citati.

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Per sapere, data una funzione, quali sono i suoi asintoti, occorre svolgere dei passaggi matematici molto semplici.

• Cominciamo con il calcolo degli eventuali asintoti verticali di una funzione:
  Una retta verticale, del tipo x= c , con c costante, è un asintoto verticale della funzione f(x)=y se il limite per x che tende a c (sia da sinistra, sia da destra)  di tale funzione ha valore +∞ o -∞;
  I valori di tali limiti possono anche essere diversi (non necessariamente entrambi contemporaneamente +∞, ad esempio). Se il risultato del limite è ∞ soltanto da destra (o da sinistra) si parlerà di asintoto verticale destro (o sinistro).
• Allo stesso modo, una retta y=c, con c costante, è un asintoto orizzontale per la funzione y=f(x) se il limite per x che tende a ∞ della funzione ha valore costante
  Esempio: lim per x->∞ f(x) = 5, allora y=5 è asintoto orizzontale per f(x).
  Ovviamente, gli asintoti orizzontali possono esistere solo qualora la funzione non sia limitata in un certo intervallo (se stiamo studiando funzioni limitate, ad esempio, per valori di x compresi tra -10 e +10, non potremo studiare alcun valore della funzione all'infinito, e di conseguenza non potrà esistere alcun asintoto orizzontale) ;
• Infine, se non sono ammessi asintoti orizzontali, la funzione potrebbe ammettere asintoti obliqui. Tali asintoti sono rappresentati da rette che hanno una specifica pendenza, la quale è espressa dal coefficiente angolare m=lim per x->∞ di f(x)/x
  Se tale limite restituisce un numero, quello sarà il coefficiente angolare della retta. Per trovare tale retta allora si calcola q= lim per x-> ∞(f(x)-mx), ovvero l'intersezione della retta con l'asse y.
  A questo punto possiamo scrivere la retta rappresentante l'asintoto obliquo: y=mx+q