Come sommo frazioni con denominatori diversi?

Le frazioni sono forse il primo scoglio che si incontra in matematica alle scuole medie. Imparare a maneggiarle rapidamente è fondamentale per potere proseguire agevolmente nello studio dei concetti che verranno studiati successivamente, in quanto le frazioni diventeranno il pane quotidiano dello studente.

Insegnanti di matematica per ripetizioni

Pasquale Pio 1ª lezione gratis (10)10100

Santiago 1ª lezione gratis (13)10100

Ovviamente, il primo step nell'introduzione alle frazioni è capire come usare le operazioni di somma, differenza, prodotto e divisione finora usati solo per i numeri naturali. Come alle scuole elementari è stata necessaria un po' di pratica per acquisire dimestichezza con le suddette operazioni, anche in questo caso le difficoltà sono più pratiche che teoriche.

Il minimo comune multiplo

Passando all'azione, la somma di due frazioni passa per la conoscenza del concetto di minimo comune multiplo (mcm), ovvero, dato un insieme di numeri A, va trovato il più piccolo numero divisibile per ognuno dei numeri dell'insieme A. Ad esempio, dati i numeri 4, 6, e 3, il mcm è 3 x 4 = 12. Perchè? 

1. Si scompongono in fattori i numeri iniziali: 4 = 2 x 2 = 2²; 6 = 2 x 3, 3 = 3 x 1.
2. Si prendono, una sola volta, tutti i fattori ottenuti e si moltiplicano fra loro. Se un fattore è presente più volte con esponente diverso, si prende il fattore con esponente più grande. Nel nostro caso, il 2 compare più volte (nella scomposizione del 4 e del 6), ed il grado massimo con cui compare è il 2, quindi sceglieremo 2², e non semplicemente 2. Il 3 compare 2 volte, ma sempre con esponente 1, quindi sceglieremo 3 semplicemente.
3. Identificati i fattori che ci servono, vanno moltiplicati fra loro. Nel nostro caso avremo mcm = 3 x 2² = 3 x 4 x 1 = 12. 

Nel conto precedente ho incluso anche l'1 per completezza, ma ovviamente la moltiplicazione per 1 si può omettere.

Come sommo frazioni con denominatori diversi?

Compreso come funziona il minimo comune multiplo, possiamo vedere come sommare due frazioni con diverso denominatore (nel caso i denominatori siano uguali, la frazione finale avrà semplicemente a numeratore la somma dei numeratori, e a denominatore il denominatore delle due frazioni). Si può procedere in due modi, uno più semplice ma più macchinoso, un altro meno semplice ma più rapido. Nel primo caso:

1. Trovo il denominatore comune alle frazioni che sto sommando, ovvero trovo il mcm dei denominatori delle frazioni.
2. "Faccio spuntare" il mcm a denominatore di ogni frazione
3. Sommo i numeratori delle frazioni, che rappresenterà il numeratore della frazione finale, la quale avrà come denominatore il mcm calcolato prima

Esempio: 1/3 + 3/4 = ?

1. Scompongo i denominatori: 3 = 3 x 1; 4 = 2 x 2 = 2²; Trovo il mcm = 3 x 2² = 12;
2. Considerando la prima frazione, mi chiedo: quale numero, moltiplicato per il denominatore (3), fa 12? Il 4! Quindi moltiplico numeratore e denominatore della frazione 1/3 per 4, ovvero (1x4)/(3x4) = 4/12. Allo stesso modo per la seconda frazione mi chiedo: qual è quel numero che moltiplicato per 4 fa 12? Il 3! Quindi moltiplico numeratore e denominatore di 3/4 per 3, ovvero (3x3)/(3x4) = 9/12.
3. Effettuo la somma: 1/3 + 3/4 = 4/12 + 9/12 = (4 + 9)/12 = 13/12.

Cerco ripetizioni di matematica

Il secondo metodo, più veloce ma mentalmente un po' più impegnativo, segue il seguente schema:

1. Trovo il denominatore comune alle frazioni che sto sommando, ovvero trovo il mcm dei denominatori delle frazioni.
2. Determino il numeratore della frazione finale. Come? Divido il mcm per il denominatore della prima frazione e moltiplico il risultato per il numeratore della prima frazione. Ripeto la cosa per tutte le frazioni, sommando fra loro i risultati ottenuti. 
3. Ottengo la frazione finale, che avrà a numeratore la somma calcolata al punto 2 e a denominatore il mcm.

Esempio: 1/3 + 1/6 + 4/9 = ?

1. 3 = 3 x 1; 6 = 2 x 3; 9 = 3 x 3 = 3²; quindi mcm = 2 x 3² = 18.
2. Considerando 1/3, divido il mcm per il denominatore: 18/3 = 6; moltiplico il risultato ottenuto (6) per il numeratore della frazione (1): 6 x 1 = 6. Quindi il primo termine della somma è 6. Considerando la seconda frazione: 18/6 = 3; 3 x 1 = 3. Quindi il secondo termine della somma è 3. Considerando l'ultima frazione: 18/9 = 2; 2 x 4 = 8. In conclusione dovro sommare 6 + 3 + 8 = 17. 
3. I passaggi completi per arrivare alla frazoine finale si scrivono: 1/3 + 1/6 + 4/9 = (6 + 3 + 8)/18 = 17/18.

Come si evince dai due metodi analizzati, la difficoltà è più che altro pratica. Il passaggio fondamentale è identificare il corretto mcm, ovvero scomporre correttamente i denominatori e considerare i fattori comuni giusti. Se ti trovi in difficoltà nel trovare il mcm, ti consiglio di esercitarti prima su quest'ultimo e poi passare alle operazioni con le frazioni. Il concetto di mcm ti seguirà in tutto il tuo percorso di studi, quindi è bene saperlo maneggiare con prontezza e in modo corretto. Per il resto, la somma fra frazioni con diverso denominatore richiede semplicemente di effettuare moltiplicazioni e divisioni nel modo corretto. Nota che gli stessi concetti spiegati sopra valgono anche per la differenza fra frazioni.

Spero che tutto sia chiaro, buono studio!