Il teorema di Gauss: enunciato del teorema e significato fisico

Il Teorema di Gauss: Definizione e Formula

In questa breve lezione di matematica parleremo del famoso teorema del Flusso, conosciuto come Teorema di Gauss. Il teorema si basa sull'idea di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa e viene utilizzato principalmente per calcolare campi elettrici generati da distribuzioni di carica. Il teorema di Gauss afferma che:

Il flusso del campo elettrico E attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla somma algebrica delle cariche elettriche Q interne alla superficie.

Matematicamente, si esprime come:

ΦE=Qintε0\Phi_E = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}ΦE​=ε0​Qint​​

Dove:

• Φ(E) è il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S, con E è il vettore campo elettrico.
• Qint​ è la carica totale racchiusa dalla superficie.
• ε0​ è la costante dielettrica del vuoto (pari a 8.854×10−128.854×10^{-12}8.854×10−12).

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Il concetto di somma algebrica nelle cariche elettriche

Cerchiamo di spiegare alcuni punti che possono essere dati per scontati, come ad esempio la somma algebrica. Che cosa significa?

Quando si parla di una somma algebrica significa che si sta sommando delle quantità caratterizzate da un segno. Siccome nel nostro caso la somma algebrica viene fatta con delle cariche elettriche, effettivamente si sta sommando quantità che possono essere sia positive che negative.

Pertanto, fare la somma algebrica significa sommare le cariche, ciascuna con il proprio segno. Ad esempio, se si ha una carica q₁ = -5 C e una carica q₂ = +2 C, allora la loro somma algebrica è:

q1+q2=(−5+2)=−3Cq_1 + q_2 = (-5 + 2) = -3 Cq1​+q2​=(−5+2)=−3C

Carica interna e il suo ruolo nel teorema di Gauss

Nel teorema viene specificato che il flusso del campo elettrico passa attraverso una superficie chiusa. Quindi, quando si parla di carica interna, ci si riferisce alla carica che sta all'interno di quella superficie.

Ad esempio, se la superficie in questione è una superficie sferica, allora devono essere considerate solo le cariche che si trovano all'interno della sfera.

Che significa che il flusso è proporzionale alla carica interna?

Osservando la relazione matematica del teorema di Gauss, si nota che all'aumentare della carica interna (o al suo diminuire), il flusso del campo elettrico aumenta o diminuisce esattamente di quella quantità moltiplicata per il fattore di proporzionalità 1/ε₀.

Ovvero, se la carica interna aumenta di 2, allora il flusso aumenta di 2 × 1/ε₀.

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La formulazione integrale del Teorema di Gauss

Quella appena spiegata è la formulazione del Teorema di Gauss che solitamente viene fornita alle scuole superiori. Questa formulazione si dice integrale.

La formulazione integrale del teorema di Gauss è utilizzata perché riguarda il calcolo del flusso di un campo vettoriale (in questo caso, il campo elettrico) attraverso una superficie chiusa.

Un integrale è il modo matematico per sommare quantità distribuite su una regione continua, e il teorema di Gauss si occupa proprio di una quantità distribuita nello spazio: il campo elettrico.

Infatti, il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie è definito come il prodotto scalare del campo vettoriale con l'elemento di area della superficie, integrato su tutta la superficie chiusa. Il campo elettrico E potrebbe variare in intensità e direzione su tutta la superficie, e l'integrale tiene conto di queste variazioni.

ΦE=∮E⋅dA\Phi_E = \oint E \cdot dAΦE​=∮E⋅dA

Questo flusso è quello che nel teorema è proporzionale alla carica interna alla superficie chiusa considerata.