Ripetizioni matematica ed esercizi sulle equazioni di primo grado

In questo primo post ripasseremo i due principi fondamentali delle equazioni e li applicheremo per risolvere delle equazioni di I grado (ovvero in cui la variabile compare senza esponenti).

Che cos'è un'equazione?

Se ti è capitato di andare a ripetizioni di matematica saprai che con il termine equazione si indica una uguaglianza tra due espressioni algebriche in cui compaiano numeri (costanti) e incognite (variabili).

Ad esempio, sono equazioni:

x-2=5

3x=12

4x-7/8=12x+1

(7x+9)(12x-4)-84x^2=0

ecc.

In ciascuno di questi esempi, abbiamo indicato con x l'incognita dell'equazione, ovvero il termine non costante che compare in essa.

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Come si risolve un'equazione?

Risolvere un'equazione vuol dire trovare tutti i valori (reali) che, sostituiti all'incognita, rendono verificata l'uguaglianza. Per esempio, la soluzione della prima equazione x-2=5 è x=7, infatti se sostituiamo 7 al posto della x otteniamo 7-2=5, che è vero. Ma in che modo possiamo trovare l'insieme delle soluzioni di un'equazione, e come possiamo essere certi che non ce ne siano altre? 

Per fare questo ricorriamo ai due principi fondamentali delle equazioni, che, applicati in successione all'equazione data, danno come risultato un'equazione equivalente a quella di partenza, ossia con esattamente lo stesso insieme di soluzioni.

I principio: sommando uno stesso numero reale ai membri a sinistra e a destra nell'equazione, otteniamo un'equazione equivalente.

Ad esempio, nella prima equazione sopra possiamo sommare 2 a sinistra e a destra, ottenendo:

x-2+2=5+2

e, semplificando: x=7

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II principio: moltiplicando per uno stesso numero reale diverso da zero i membri a sinistra e a destra nell'equazione, otteniamo un'equazione equivalente.

Ad esempio, moltiplicando la seconda equazione per 1/3, otteniamo:

(1/3)3x=(1/3)12

e, semplificando, x=4

Nella figura, utilizziamo questi principi uniti all'usuale semplificazione delle espressioni algebriche per risolvere anche la terza e la quarta equazione.