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Escercizi sulle equazioni di secondo gr...

Ripetizioni matematica: esercizi sulle equazioni di secondo grado

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Nel mio ultimo post, vi avevo promesso che avrei presto spiegato come risolvere le equazioni di grado superiore al primo.

La prima cosa che capiamo durante le nostre ripetizioni di matematica è che non tutte le equazioni si possono risolvere con un algoritmo o una formuletta. Infatti, il Teorema di Abel-Ruffini (la cui dimostrazione richiede conoscenze di teoria dei gruppi, argomento che solitamente si tratta solo in università) afferma che non esiste una formula chiusa per trovare una soluzione a una generica equazione di grado 5 o superiore. Specificare "generica" è importante, poiché in alcuni casi particolari è possibile trovare una soluzione a un'equazione di grado (almeno) 5. Per esempio:

(x-1)^5=0

Ha chiaramente come unica soluzione (con molteplicità 5, ne parleremo tra un attimo) 1.

Oppure:

x^5-1=0

Ha anch'essa 1 come soluzione, anche se essa non è l'unica.

In generale, un'equazione (polinomiale) di grado n ha al massimo n soluzioni reali. Inoltre, se lavoriamo in un insieme numerico più grande, quello dei numeri complessi (di cui parleremo prossimamente), il Teorema Fondamentale dell'Algebra ci dice che un'equazione di grado n ha esattamente n soluzioni, contate con molteplicità.

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Che cos'è la molteplicità di una soluzione?

Se p(x) è un polinomio di grado n e noi risolviamo l'equazione p(x)=0, il Teorema di Ruffini (che non è quello di Abel-Ruffini, citato sopra!) ci dice che se a è una soluzione dell'equazione (detta anche radice o zero del polinomio, spesso useremo questi termini come sinonimi) allora x-a divide p(x). La molteplicità di a è un numero che esprime quante volte x-a divide esattamente p(x).

Così, se noi abbiamo p(x)=q(x)(x-a)^k, ove q(a) è diverso da 0, diciamo che a ha molteplicità k come radice di p(x).

La matematica è una delle materie che più spesso richiede uno sforzo extra con delle ripetizioni private durante tutte le diverse fasi del percorso scolastico. Seguire delle lezioni private di matema...

Come si risolvono le equazioni di secondo grado?

Siamo ora pronti per risolvere le equazioni di secondo grado. Per quanto detto finora, sappiamo che un'equazione di secondo grado ha al massimo due soluzioni reali e, più precisamente, si può avere uno dei seguenti casi:

l'equazione ha due soluzioni reali distinte;
l'equazione ha una soluzione reale doppia (ovvero con molteplicità 2);
l'equazione non ha soluzioni reali.

Nell'ultimo caso, vedremo che allora l'equazione ha due soluzioni complesse distinte. Più precisamente esse sono complesse coniugate, quindi non potrebbero essere coincidenti a meno che non fossero reali. Ma ne parleremo in un altro post...

Per capire come si risolve un'equazione di secondo grado, partiamo da un esempio molto semplice. Risolviamo l'equazione:

x^2=4

Dobbiamo trovare un numero, x, il cui quadrato sia uguale a 4. Calcoliamo dunque la radice quadrata di 4, e troviamo due soluzioni: 2 e -2. Queste sono le soluzioni della nostra equazione. Più in generale, se abbiamo un'equazione di secondo grado del tipo

x^2=A

Per risolverla dobbiamo calcolare (se esiste!) la radice quadrata di A. Otteniamo quindi due possibili valori, uno positivo e uno negativo (oppure 0 con molteplicità doppia se A=0) e questi valori sono le soluzioni della nostra equazione.

Ma che succede se l'equazione presenta un termine di primo grado, cioè in cui compare la x senza esponente? Per esempio, come risolviamo

x^2+x-6=0?

Prima di procedere, ricordiamo la formula del quadrato di binomio:

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

Vorremmo ricondurci al caso precedente, in cui avevamo un termine al quadrato uguale a un numero reale. Allora operiamo con la procedura che i matematici chiamano completare il quadrato: riscriviamo la nostra equazione in modo che il termine a sinistra somigli al quadrato di un binomio. Lo facciamo nell'esempio sopra:

x^2+x-6=0

Diventa:

x^2+x+1/4=6+1/4

Ora, il termine a sinistra è il quadrato di x+1/2, quindi lo mettiamo in evidenza:

(x+1/2)^2=25/4

Ed estraendo la radice quadrata otteniamo:

x+1/2=5/2 oppure x+1/2=-5/2

Questo ci dà le due soluzioni:

x=2 e x=-3

Possiamo usare questo trucchetto in generale, e questo ci dà la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Per ricavarla, scriviamo dunque una generica equazione di secondo grado:

ax^2+bx+c=0, con a,b,c numeri reali e a diverso da 0.

Poiché a è diverso da 0, per prima cosa dividiamo tutto per a, ottenendo:

x^2+b/a x+c/a=0

Ora, portiamo c/a a destra e osserviamo che b/a x è il doppio prodotto di b/2a e x. Allora ci vogliamo scrivere il membro a sinistra come il quadrato del binomio x+b/2a. Otteniamo dunque:

x^2+b/a x+b^2/4a^2 = -c/a+b^2/4a^2

Da cui:

(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2

x+b/2a = ±√(b^2-4ac)/2a

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

Che è la classica formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado.

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Ai più attenti non sarà sfuggito che abbiamo fatto un'operazione non sempre lecita: abbiamo estratto la radice quadrata del numero b^2-4ac. Questo si può fare solo se tale numero, chiamato discriminante, è non negativo.

In particolare si avrà uno dei seguenti casi:

Se il discriminante è positivo, l'equazione ha due soluzioni reali distinte, date dalla formula di risoluzione.
Se il discriminante è nullo, l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti, ovvero -b/2a.
Se il discriminante è negativo, l'equazione non ha soluzioni reali.

Vediamo in figura alcuni esercizi. Provate a risolvere i primi tre anche con la formula!