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Esercizi sulle equazioni II: equazioni fratte e ripetizioni matematica
Mi piaceIn questo post vedremo, con alcuni esempi utili come forma di ripetizioni di matematica, come si risolvono le equazioni fratte, ovvero equazioni della forma:
(x+1-3/2x)/(x^2+1)=1+(x-1/2)/(x-1).
La prima regola da tenere a mente quando si è davanti ad un'equazione fratta è: non è possibile dividere per zero. Pertanto, prima di iniziare a semplificare un'equazione fratta, dobbiamo assicurarci che essa abbia senso, cioè che in nessun caso stiamo effettuando una divisione per 0. Questo ci permetterà di definire il dominio di definizione dell'equazione, all'interno del quale andremo a cercarne le soluzioni: in altre parole, una volta risolta l'equazione, dobbiamo controllare che nessuna delle soluzioni contraddica una o più delle condizioni stabilite all'inizio; altrimenti, tale soluzione non sarà accettabile e verrà esclusa.
Nota: è anche possibile che, una volta risolta l'equazione, non si trovi alcuna soluzione che non contraddica le condizioni sul dominio. In tal caso, l'insieme delle soluzioni sarà vuoto e l'equazione sarà impossibile, ovvero mai verificata.
Risolviamo, passo dopo passo, l'equazione nell'esempio sopra. Per prima cosa determiniamo il dominio di definizione. I termini che compaiono al denominatore sono:
x^2+1 e x-1.
Se non sapete svolgere le equazioni di grado superiore al primo (di cui parleremo prossimamente in un altro post!), niente paura: è sufficiente un piccolo ragionamento per terminare questo esercizio senza conoscere la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado.
Osserviamo che, qualunque numero reale sia x, il suo quadrato è sempre non negativo, cioè maggiore od uguale a 0. Se poi ad esso aggiungiamo 1, otteniamo un numero che è sempre maggiore od uguale a 1! Ma allora x^2+1 è sempre positivo, e in particolare mai 0!
Abbiamo scoperto che il termine x^2+1 non aggiunge alcuna condizione al dominio di definizione.
L'altro termine che compare al denominatore è x-1. Per determinare quando esso è diverso da 0, risolviamo l'equazione ausiliaria:
x-1=0
con soluzione x=1.
Abbiamo scoperto che la nostra equazione ha dominio di definizione R-{1}, ovvero tutto l'insieme dei numeri reali diversi da 1.
Siamo pronti a risolvere l'equazione. Per prima cosa, mettiamo tutto a denominatore comune, ossia moltiplichiamo adeguatamente ambo i membri dell'equazione per scriverla in una forma in cui compaia un unico denominatore.
Nel nostro caso, il minimo denominatore comune è il prodotto dei denominatori presenti nell'equazione, cioè (x-1)(x^2+1). Ai fini del nostro esercizio, è inutile svolgere questo prodotto, pertanto lo lasceremo indicato in questa maniera. Otteniamo quindi:
(x-1)(-1/2x+1)/(x-1)(x^2+1) = [(x-1)(x^2+1)-(x^2+1)(x-1/2)]/(x-1)(x^2+1).
Ora, poiché nel nostro dominio di definizione il denominatore è diverso da 0, possiamo usare il II principio di equivalenza delle equazioni (di cui abbiamo parlato qui) e moltiplicare i membri a destra e sinistra della nostra equazione proprio per (x-1)(x^2+1), ottenendo:
(x-1)(-1/2x+1) = (x-1)(x^2+1)-(x^2+1)(x-1/2).
A questo punto, abbiamo ottenuto una classicissima equazione intera, che sappiamo risolvere con il metodo imparato nel primo post! Dobbiamo solo ricordare che in questo caso, a differenza del caso intero, abbiamo un dominio di definizione più piccolo e non possiamo accettare la soluzione x=1, qualora dovesse presentarsi dopo aver svolto i calcoli.
Con le dovute semplificazioni, quest'equazione diventa
3x-1=0
(ebbene sì, tutti i termini di secondo e terzo grado si eliminano, l'ho fatto apposta, eheh)
con soluzione x=1/3, che è accettabile essendo nel nostro dominio di definizione.
Nella figura sotto, risolviamo insieme un'altra equazione fratta.
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