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Come risolvere le equazioni di terzo grado?
Scopri come affrontare le equazioni di terzo grado nelle lezioni di matematica. Sfrutta questi consigli e approfondimenti per migliorare le tue competenze nel risolvere equazioni di terzo grado con sicurezza e precisione.
Intanto prendiamo un'equazione generica:
ax^3+bx^2+cx+d = 0
Se siamo fortunati e abbiamo il termine noto nullo (d = 0) allora abbiamo il caso semplice :
ax^3+bx^2+cx = 0
In questo caso possiamo raccogliere la x e ci ritroviamo:
x (ax^2+bx+c) = 0
Quindi la prima soluzione sarà data da x = 0, mentre le altre due soluzioni saranno date dall'equazione di secondo grado:
ax^2+bx+c = 0
Se invece siamo nel caso che d non sia =0 allora useremo la regola di Ruffini. Per spiegarla ricorrerò ad un esempio. Prendiamo l'equazione:
x^3+2x-3 = 0
Quindi avremo a=1, b=0, c=2, d=-3 (sono importanti da tenere a mente). Il nostro obiettivo è di scomporre il nostro polinomio in un prodotto della forma:
(x+β)(x^2+ρx+α)=0
dove β ρ α sono numeri. Per arrivare a ciò ti spiego step by step come arrivarci:
- Trova i divisori del termine noto. In questo caso abbiamo d = -3, quindi sappiamo che questo termine può essere diviso per i numeri interi +1,-1,+3,-3 senza resto (da badare che sono importanti anche i divisori con il segno negativo)
- Sostituire i divisori nell'equazione e trovare un divisore che risolva l'equazione. Nell'esempio se sostituiamo x=1, abbiamo che l'equazione è valida, quindi abbiamo trovato una soluzione! Se sostituiamo la x per tutti i divisori e non troviamo un valore che risolva l'equazione vuol dire che l'equazione NON si può risolvere.
- Costruiamo la tabella di Ruffini sappiamo adesso il termine β dell'equazione che vogliamo (-1 perché è la radice del polinomio cambiata di segno). Adesso troviamo i coefficienti ρ e α completando la tabella:
In questo modo abbiamo che i coefficienti sono ρ=1 e α=3 (gli ultimi coefficienti in basso a destra escludendo il resto). Quindi abbiamo trovato un modo per scomporre la nostra complicata equazione di terzo grado in un'equazione della forma:
(x-1)(x^2+x-3)=0
Adesso possiamo continuare a risolvere la nostra equazione avente soluzione x=1 e le soluzioni del polinomio di secondo grado!
N.B. La regola di Ruffini può essere usata anche per equazioni di grado superiore al terzo.