Come condurre uno studio di funzione ad una variabile reale

Gli studenti del liceo al quarto anno e gli studenti universitari che si apprestano ad affrontare il corso di analisi I, devono fare i conti anche con lo studio di funzione ad una variabile reale.

Nel termine delle applicazioni si tratta di un’applicazione da ℝ verso ℝ (con ℝ dominio e codominio che equivale all’insieme dei numeri reali). Per fare una digressione insiemistica, ℝ contiene ℚ, ℤ, ℕ (rispettivamente, insieme dei numeri razionali, relativi e naturali). Insomma, per ogni x si applica una f(x) che passa sotto il nome di funzione. In pratica vi è una variabile indipendente x ed una variabile dipendente da x (f(x)) che chiameremo, per convenzione, y.

I prerequisiti per lo studio di funzione sono, fra l’altro: conoscere le caratteristiche di una funzione, ovvero il fatto che essa sia pari o dispari, iniettiva, suriettiva, bigettiva, eccetera. Diamo per scontati questi concetti (che comunque potranno essere oggetto di discussione dei prossimi articoli) e passiamo immediatamente ad illustrare come si studia una funzione.

Ovviamente dobbiamo sapere cosa è un limite, una derivata, eccetera e saperli calcolare.

Data una f(x) dobbiamo osservare se questa sia di classe C0 (continua), ovvero che non vi siano punti singolari (che potrebbero essere eliminati in un secondo momento) e se questa è definita su tutto ℝ o meno (attenzione: non significa che se non è continua essa non possa essere studiata). Questa operazione si chiama determinazione del campo di esistenza o condizione di esistenza. Si tratta quindi di esplicitare il dominio della stessa.

Il secondo step è quello dello studio del segno. Ci si chiede dove la f(x) = y è positiva e dove è negativa. Formalizzando: f(x) ≥ 0

Successivamente si passa allo studio delle singolarità e degli estremi con dei passaggi al limite. Si può trovare una singolarità di prima specie, ovvero se esistono i limiti (destro e sinistro), di un punto singolare, sono entrambi finiti ma diversi fra loro; una discontinuità di seconda specie, se il limite destro o sinistro di un punto singolare non esiste, oppure è infinito; una discontinuità di terza specie (od eliminabile) se esiste ed è finito il limite valutato nel punto singolare ma la funzione nel punto non esiste o è diversa da l.

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Nel medesimo step, che chiamiamo terzo, si verifica l’esistenza di eventuali asintoti, siano essi verticali, orizzontali od obliqui.

Nel quarto step si studia la monotonia della funzione, ovvero la sua derivata prima; quindi, si trovano i punti di massimo e di minimo (relativi e/o assoluti).

Nel quinto step si studia la derivata seconda e quindi i punti di flesso, ovvero dove la nostra funzione cambia di concavità.

Nell’ultimo step (sesto) si raccolgono tutte le informazioni e si disegna un grafico qualitativo della funzione.

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