Problemi da risolvere con le equazioni: trovare due numeri con somma e prodotto assegnati

In questo post parleremo di come risolvere problemi mediante l'uso di equazioni.

Un grande classico delle lezioni di matematica, che spesso viene proposto dopo aver studiato le equazioni di secondo grado in una variabile, è il seguente:

Si determinino due numeri la cui somma sia A e il cui prodotto sia B.

La domanda sorge spontanea: cosa c'entrano le equazioni di secondo grado con questo problema?

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Proviamo a scrivere insieme ciò che abbiamo. Dobbiamo trovare due numeri reali, x e y, tali che:

x+y=A e xy=B

Proviamo a risolvere il sistema dato da queste due equazioni. Ricavando y dalla prima e sostituendo nella seconda, otteniamo

x(A-x)=B, da cui x^2-Ax+B

Risolvendo questa equazione troviamo (se esistono!) due possibili valori per la x. Questi due valori hanno la proprietà che: la loro somma è A e il loro prodotto è B. Infatti, se fattorizziamo il polinomio x^2-Ax+B nei due termini lineari dati da (x-x1) e (x-x2), dove x1 e x2 sono le due radici del polinomio, scopriamo che:

x^2-Ax+B=(x-x1)(x-x2)=x^2-(x1+x2)x+x1x2

Abbiamo scoperto che A è proprio uguale alla somma delle radici del polinomio e B è proprio uguale al loro prodotto!

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Proviamo ora a risolvere un esercizio simile con questo metodo.

Problema: Si trovino due numeri reali la cui somma sia 5 e il cui prodotto sia 6.

Soluzione: Per quanto detto sopra, questi due numeri, se esistono, sono le soluzioni dell'equazione:

x^2-5x+6=0

ovvero 2 e 3.

Approfondimento

La somma e il prodotto di due numeri sono le funzioni simmetriche di essi. Quello che abbiamo dimostrato sopra è che un qualunque insieme di due numeri è l'insieme delle soluzioni dell'equazione di secondo grado avente per coefficienti le loro funzioni simmetriche, definita secondo le seguenti regole:

• l'equazione è monica (cioè il termine di secondo grado ha coefficiente 1);
• il coefficiente del termine di primo grado è la funzione simmetrica di grado 1 (cioè la somma);
• il coefficiente del termine noto è la funzione simmetrica di grado 2 (cioè il prodotto).

Questo fatto è vero più in generale, e la dimostrazione si studia di solito nei corsi di laurea in matematica. Si ha, più precisamente, che n numeri x1,x2,...,xn sono le radici del polinomio monico avente per coefficienti le funzioni simmetriche di x1,x2,...,xn, secondo la regola che il coefficiente del termine di grado k ha grado n-k.